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Théorème de Thalès

Envoyé par Eric Lafosse 
Je cherche à prouver le théorème de Thalès, le vrai, celui avec els mesures algébriques (Ben oui, on a les amusements qu'on peut.) Euclide propose quelque chose avec des aires, démonstration classique, mais il ne justifie pas, me semble-t-il, que l'on puisse ajouter les aires des différents triangles (et puis il ne parle que des distances)...
Ma question est donc celle-ci :
Si (AB) et (A'B') se coupent en O, et si (AA') et (BB') sont parallèles, pourquoi O, A et B sont-ils alignés dans le même ordre que O, A' et B' ?

Si l'un ou l'une d'entre vous trouve quelque chose...
Re: Théorème de Thalès
il y a dix années
Bonjour, je suis en TS jai une idéé pour ta demonstration:

en fait je crois que le theoreme de Thales est une consequence de quelques proprietes des similitudes ( une similitude est une transformation du plan qui a tout points M,N, P et Q associe les points (respectivement) M',N',P' et Q' tels que MN/PQ=M'N'/P'Q'.
Ainsi la similitude conserve le rapport des longueurs. Cest sans doute le lien avec le theoreme de Thales.
Re: Théorème de Thalès
il y a dix années
<latex> Bonjour Eric.

Tout simplement parce que si $A \in [OB]$, alors $\dfrac {OA}{OB}
Pour Fredj, je précise que je suis prof en lycée, donc je sais ce qu'est une similitude : je ne dis pas cela pour te "remettre à ta place" (je trouve que ton rappel est très bon, pas complet mais bon, et qu'il a le mérite d'expliquer ce que tu utilises comme propriété des similitudes : trop d'élèves diraient "puisqu'on a une similitude, on peut dire que..." sans expliquer comment ils l'utilisent.) mais pour informer tout le monde de l'état de mes connaissances.
Et puisque tu es élève de TS cette année, je sais ce que l'on t'a enseigné en 3°, ayant été prof de collège cette année-là : on t'a dit que si les droites gna-gna étaient parallèles alors il y avait égalité de rapport de distance. Donc quand tu connais trois distances, tu peux trouver la quatrième : seulement, si tu connais la distance OA et le point O, tu as deux positions possibles pour A. Le théorème que j'ai appris en 3° il y a bien longtemps (20 ans cette année !) donnait en plus l'ordre dans lequel les points étaient alignés. D'où ma question que je reformule autrement :

Si deux demi-droites de même origine sont coupées par une troisième, et si une parallèle à cette troisième coupe une des demi-droites, pourquoi coupe-t-elle l'autre ?
Re: Théorème de Thalès
il y a dix années
C'est le genre de questions assez embarassantes:
"mais, c'est évident, ça se voit sur le dessin, c'est parce que... parce que..." :)
Soient d1 et d2 tes demi-droites qui se coupent en O et que l'on suppose non-parallèles (ce cas particulier se traite facilement).
On suppose que la 3eme droite d3 n'est pas parallèle non plus à l'une des 2 (cet autre cas se traite facilement aussi il me semble).

On a donc une sorte de triangle...

Soit d4 la parallèle à d3 passant par O.
d4 coupe le plan en 2 régions. La une contient nos 2 demi-droites, l'autre pas.
Une parallèle à d3 (donc à d4) coupant d1 ou d2 est donc dans notre région une.
Soit d5 une parallèle quelconque à d3 dans la région une, et coupant d1 ou d2. On suppose d5 <> d3 ou d4

Cette droite d5 coupe notre région 1 en 2 sous-régions, A et B. L'une contient O, l'autre non (A contient O par exemple).

Supposer que cette droite d5 ne coupe pas d1 par exemple (idem avec d2), ce serait supposer que la droite d1 est dans la région A (dans la région A, d1 apparait comme une droite normale). or cette région est délimitée par 2 droites parallèles, d3 et d5. Supposer qu'elle reste dans cette région, c'est forcément supposer qu'elle est parallele (le contraire de parallele est "sécant en un unique point") à d3, ce qui est contraire à nos hypothèses!

Je sais c'est plutôt confus :)

J'avais pensé à raisonner aussi avec l'angle aigu que font les 2 droites entre elles...

A+
<latex> Bonjour.

Décidément, certains ont de l'inspiration à revendre (n'est-ce pas, Aviva ? winking smiley ). Je propose ici une modeste contribution de réponse à la question :

>
\renewcommand{\vecteur}[1]{\stackrel{\longrightarrow}{#1}}
\underline{Préambule} :
Les propositions utilisées dans la démonstration sont énoncées ci-après. Que le lecteur ne sente pas offensé : ce développement vise simplement à souligner le caractère élémentaire des assertions retenues, de manière à correspondre "à peu près" à l'état des connaissances avant l'exhibition du théorème de Thalès proprement dit.
1/ 2 droites parallèles sont confondues ou disjointes [un des axiomes du plan affine] ;
2/ 3 points distincts A, B et C sont alignés ssi il existe un réel $k$ non nul tel que $\vecteur{AB} = k \vecteur{AC}$ ;
3/ 2 droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles ssi il existe un réel $k$ non nul tel que $\vecteur{AB} = k \vecteur{CD}$ ;
4/ Un point $M$ appartient à une demi-droite $D_{A}$ d'origine $A$ et passant par le point $B$ ssi il existe un réel $k \geq 0$ tel que $\vecteur{AB} = k \vecteur{AM}$ ;
5/ On dira que 2 demi-droites sont parallèles si leurs droites de support sont parallèles. On note que, si leurs supports sont confondus, ou les demi-droites sont confondues, ou elles ont un ensemble en commun (point d'origine ou segment), ou elles sont disjointes.
\renewcommand{\droite}[1]{\overline{#1}}
\underline{Notations} :
On notera $\droite{\Delta}$ la droite qui supporte la demi-droite notée $\Delta$, $(AB)$ la droite passant par les points $A$ et $B$.
De l'énoncé, on appelle $D_1$ et $D_2$ les 2 demi-droites non confondues et de même origine $O$, $D_3$ la demi-droite qui les coupe respectivement en les points $A_1$ et $A_2$, et $D_4$ la parallèle à $D_3$ qui coupe $D_1$ en un seul point $B_1$.

\underline{Démarche} :
On vérifie dans un premier temps que les supports de $D_2$ et $D_4$ sont sécants. Puis on montre que ce point d'intersection est sur les 2 demi-droites.

\underline{Existence d'une intersection entre les supports} :
$D_4$ coupe $D_1$ en un point unique : $B_1$.
Supposons que $ \droite{D_2} \parallel \droite{D_4} $. Il vient : $D_2 \parallel D_4$. Or $ D_4 \parallel D_3 $. Par transitivité, on obtient : $ D_2 \parallel D_3 $, ce qui s'oppose à l'énoncé. Donc $\droite{D_4}$ et $\droite{D_2}$ sont sécantes en un point noté $B_2$.

\underline{Intersection entre les demi-droites supportées} :
Par la relation de Chasles, on écrit que $\vecteur{OB_2} = \vecteur{OB_1} + \vecteur{B_1 B_2}$.
D'une part, $A_1$ et $B_1$ appartiennent à la demi-droite $D_1$ d'origine $O$. Donc $ \exists z \in \R^+ : \vecteur{OB_1} = z \vecteur{OA_1} $. D'autre part, $ \droite{D_3} = (A_1 A_2) \parallel \droite{D_4} = (B_1 B_2) $. Il vient : $ \exists y \in \R^* : \vecteur{B_1 B_2} = y \vecteur{A_1 A_2} $. $y$ se décompose de manière unique en : $y = z + t$ avec $t \in R$. Il s'ensuit que : $ \vecteur{B_1 B_2} = (z+t) \vecteur{A_1 A_2} $. De plus, les points $O$, $A_2$ et $B_2$ appartiennent à la droite $\droite{D_2}$. Donc $\exists u \in \R^* : \vecteur{OB_2} = u \vecteur{OA_2}$.
Par substitution dans l'expression de $\vecteur{OB_2}$, il découle : $ u \vecteur{OA_2} = z \vecteur{OA_2} + t \vecteur{A_1 A_2}$ ou encore : $ (u-z) \vecteur{OA_2} = t \vecteur{A_1 A_2}$. Or $O \not\in \droite{D_3}$ ce qui signifie que $O$, $A_1$ et $A_2$ ne sont pas alignés. Donc on a : $ t = 0 $ et $ u = z $. Notamment : $ u \geq 0 $. Par définition des points d'une demi-droite et à partir de l'expression $\vecteur{OB_2} = u \vecteur{OA_2}$, on déduit que $B_2$ est sur la demi-droite d'origine $O$ et passant par $A_2$, soit $D_2$.
Donc $ D_2 $ et $ D_4 $ se coupent en un unique point.

\underline{Rapport des mesures algébriques} :
Par rapport à la question originelle :

>
\renewcommand{\mesure}[1]{\droite{#1}}
Posons : $A \mapsto A_1, A' \mapsto A_2, B \mapsto B_1, B' \mapsto B_2 $ et $O$ invariant.
On a donc établi que $ \vecteur{OB_2} = z \vecteur{OA_2} $ et $ \vecteur{OB_1} = z \vecteur{OA_1} $. D'une part, on confirme que les points sont alignés dans le même ordre sur les (demi-)droites ; d'autre part, le passage aux mesures algébriques nous conduit immédiatement à : $ z = \frac{\mesure{OB_2}}{\mesure{OA_2}} = \frac{\mesure{OB_1}}{\mesure{OA_1}} $.

J'ose espérer que ce développement correspond au moins en partie à une réponse aux questions posées lors de ce fil de discussion. Dans le cas contraire, ou en cas de trivialités qui auraient choqué certains, je m'en excuse.
Bien cordialement.
Pour Aviva : "d4 coupe le plan en 2 régions. La une contient nos 2 demi-droites, l'autre pas."
Pourquoi ?

"Soient d1 et d2 tes demi-droites qui se coupent en O et que l'on suppose non-parallèles ."
Ben, si elles se coupent en O...
"On suppose que la 3eme droite d3 n'est pas parallèle non plus à l'une des 2" Ben, si elle les coupe...

Pour nha, ce qui me pose problème, c'est que tu utilises la distrbutivité
k(u+v) = ku + kv, qui est une conséquence de Thalès...
Re: Théorème de Thalès
il y a dix années
[Pour Aviva : "d4 coupe le plan en 2 régions. La une contient nos 2 demi-droites, l'autre pas."
Pourquoi ?]

Et bien, d4 est sécante avec d1 en O. Or, d1 est une demi-droite. Si elle est à la fois d'un côté et de l'autre, tu en déduis une contradiction: elle est parallele à d4.
Idem pour d1. AInsi, d1 est entièrement d'un côté de d4, de même pour d2.
Sont-elles du même côté? Si l'on suppose que ce n'est pas le cas, notre droite d3, parallèle à d4, est d'un côté ou de l'autre de d4, et donc ne couperait qu'une seule des 2 droites! Contradiction.

Ouffffff.... C'est tendu d'être rigoureux :)

Sinon je suis impressionné par la longueur de ton post, NHA!
Bonjour.
Et hop ! 20/20 pour la rigueur avec Aviva winking smiley . Je crois qu'avec le complément de votre démonstration vous avez pleinement satisfait au Maître du fil, j'ai nommé : Eric lol.
Cher Maître, je suis désolé de ne pas vous apporter une solution satisfaisante. Certaines relations (probablement d'une trivialité inavouable ?) m'échappent quand même : si vous avez un instant et que vous me l'accordez smiling smiley, je profiterai volontiers de votre connaissance de l'induction de Thalès pour la distributivité évoquée. Merci par avance. smiling smiley
Quant à ma tentative, je suis "flatté" par votre impression, Aviva... mais me retiens tout de même car je m'attendais franchement à des critiques destructives et justes ! à moins que, par souci de ne pas me froisser, la réserve ait prévalu dans l'esprit des brillants intervenants de ce forum ? oui, oui, j'avoue : on aurait sans doute pu raccourcir la démarche.
Bonne journée... et bonnes révisions à ceux qui y sont plongés winking smiley .
Cordialement.

Re: Théorème de Thalès
il y a dix années
Non non, nos réponses mettent bien en évidence que, justement ce qui est évident est parfois difficile à formaliser!
(même si je pense que nous ne sommes pas allés au plus court, la difficulté d'exprimer rigoureusement notre intuition est manifeste! Exercice intéressant en fait...)

Bonne journée :)
Et il n'ya peut-être pas de réponse à ma question: Euclide lui-même, quand il explique comment construire le triangle équilatéral à partir d'un côté, ne prouve pas que les deux cercles sont sécants : il l'observe...
Re: Théorème de Thalès
il y a dix années
Bonjour à tous,

J'avoue ne pas avoir encore étudié vos contributions.
Je regarderai Euclide demain.
Je pense qu'on peut trouver une bonne présentation du théorème, avec des attaques selon divers angles (dont une vectorielle) dans l'excellent Maths Lycée de Deledicq, éd. de la Cité (autour des pages 100 ou 105).
Si je constate demain que je peux apporter une petite pierre à la discussion, je le ferai lundi matin.
Amitiés.

Félix
Une petite question qui découle de la suite de mes recherches: on dit que deux points sont du même côté d'une droite si le segment qui les relie ne coupe pas la droite.
Comment prouver que c'est une relation d'équivalence ? La réfléxivité et la symétrie sont triviales, mais la transitivité...
Re: Théorème de Thalès
il y a dix années
Bonjour Eric,

Voici ce que m'a inspiré ton problème ce dimanche, en relisant la bible (les éléments). C'est beaucoup moins propre que par Aviva et NHA (je ne suis ni prof ni élève depuis longtemps, j'ai donc beaucoup perdu au niveau rigueur).
Amitiés.
Félix
Re: Théorème de Thalès
il y a dix années
Pour ton dernier problème, je pense qu'on peut chercher dans la direction suivante :
On trace la perpendiculaire du 1er point, A, à la droite.
Elle est à une distance algébrique (par exemple en partant de la droite) positive donnée.
De même pour B.
Par linéarité, on peut en déduire que tout le segment AB est en ordonnées positives.
Mêmes opérations pour B (déjà fait), C, BC.
On trouve toujours des ordonnées positives.
Bien sûr, ce n'est pas avec les pré-requis de Thalès, mais je pense qu'on peut facilement les retrouver. Il parle souvent de droite au-dessus d'une autre, ce qui correspond bien à notre exigence.
Amitiés.
Félix
Re: Théorème de Thalès
il y a dix années
Bonsoir.
Félicitations pour votre magnifique exposé joint, Félix winking smiley . La partie IV m'a en particulier convaincu smiling smiley.
Une petite remarque d'ordre "technique" : votre pièce jointe sur le théorème de Thalès n'est malheureusement pas affichable sous Mozilla... le code indiquerait qu'elle a été créée à partir de MS Word et est structurée en XML. De mon côté, un butineur MS IE récent, avec la gestion des objets MS Office, permet d'y rémédier. Quid des autres lecteurs ? mais je m'égare ! lol
Bien amicalement.

Eh non Félix, le problème n'est pas celui-ci, donc je me suis mal exprimé : je suis bien conscient que si une droite en coupe deux autres, toute parallèle à la première coupera les deux autres, et je n'ai aucun mal à le démontrer, ce qui me tracasse est cet autre problème:
Si une droite coupe deux DEMI-DROITES [OA) et [OB) et si une parallèle à (AB) coupe [OA), elle coupe bien évidemment la DROITE (OB), mais pourquoi la coupe-t-elle sur la demi-droite [OB) ???
Re: Théorème de Thalès
il y a dix années
<latex>Bonjour à tous.

Félicitations en effet à Félix pour son exposé (tiré de la traductrion de Peyrard, si je ne me trompe pas ; au passge, le 6ème postulat dusparait car depuis le travail de Heiberg de 1890/95, on considère que ce 6 ème postulat est une interférence). Je remets un de mes grains de sel.

J'ai de gros ennuis avec la notion de demi-droite et de demi-plan dont je ne parviens pas à me souvenir si elle se trouve réellement dans Euclide, intuitivement, je dirai non. Il me semble est clair que sans ces avoir élucidé ces notions, on peut difficilement faire quelque chose de propre. Maintenant, rappelons qu deux points A et B sont dans un même demi-plan limité par une droite D si, et seulement si le segment [AB] ne coupe pas la droite D.

Reprenons la figure de base : deux demi-droites $[Ox)$ et $[Oy)$ portées par deux droites sécantes en $O$ (donc distinctes) deux points respectivement $A \in [Ox)$ et $B \in [Oy)$ ; par $A' \in [Ox)$ on mène $\Delta \parallel (AB)$ ; elle coupe la droite $(OB)$ en $B'$. Soit $\Delta'$ la droite passant par $O$ et parallèle à $(AB)$ les droites $\Delta$ et $\Delta'$ sont parallèles, {\bf donc} les points $A'$ et $B'$ sont dans le même demi-plan limité par $\Delta'$ et il s'ensuit que le point $B'$ appartient à la demi-droite $[Oy)$.

Bien entendu, il y a tout un travail préalable à faire sur ces trucs de demi-plans et de demi-droites.

Bruno
Re: Théorème de Thalès
il y a dix années
Bonjour Eric, Bruno, NHA...

Je comprends mieux maintenant ta question, qui me semblait aussi trop simpliste, ce qui a permis à NHA de se moquer gentiment de moi.
Il devrait effectivement être intéressant de prendre le problème à zéro, avec les connaissances de l'époque (pas de vectoriel, pas d'algébrique).

Par exemple, pour dire que les cercles se coupent, ce que ne démontre pas Euclide (livre 1, proposition 1), nous devons nous mettre d'accord sur la continuité de la ligne, sur les notions de distance, d'intérieur d'une figure : pouvons-nous admettre que le cercle est une figure fermée ? Ou devons-nous le démontrer ? De quelle façon, avec ce qu'Euclide est sensé pouvoir mettre en oeuvre ?

Je pense que si Euclide ne définit (peut-être) pas la notion de demi-plan, il l'utilise de façon quasiment explicite lorsqu'il parle de droite "tombant" sur une autre.
Cela nous permet de poser démarrer le problème ainsi :
Deux parallèles. Pour simplifier, traçons-les verticales.
Deux sécantes (entre elles, et avec les parallèles). Très grossièrement horizontales. On ne va pas définir l'endroit où elles se coupent.
On va dire que la // AA' est "à gauche" et la // BB' "à droite".
On ne considère que AA'.

Le postaulat 5, version d'origine, nous dit que les sécantes se couperont à gauche si la somme des angles intérieurs est inférieure à 180°. A gauche de AA', un demi-plan "vide".
Euclide, sans réellement définir la notion de sens, l'utilise à plusieurs reprises. Nous sommes donc en droit de dire que la droite OA est parcourue de O vers A, endroit où elle quitte le demi-plan, et donc trouvera le point A' dans le demi-plan de droite. Idem O, B, B'.
Cas suivant : la somme des angles vaut 180°. On ne s'en occupe pas.
Dernier cas : la somme est supérieure à 180°. Donc la somme des angles intérieurs de droite est inférieure à 180°, et le 5ème nous dit que les sécantes le seront dans ce demi-plan de droite.
Il y a maintenant deux possibilités : O est à droite de la // BB', ou entre AA' et BB'.
Dans le 1er cas, raisonnement symétrique à celui de tout-à-l'heure, et nous sommes en droit de dire O, A', A et O, B', B.
Sinon O est entre les //, on en déduit A, O, A' et B, O, B'.

Tout reste bien entendu assez intuitif, mais nous n'avons pas le droit de travailler avec nos connaissances. Cependant nous pourrions formaliser le système d'axiomes et, avec les notions intuitives que nous aurons acceptées, commencer la démonstration des Eléments, effectivement, en "prouvant" avec ces notions que les deux cercles de la proposition 1 se coupent bien.

Bien évidemment, une fois ce travail effectué, une recherche bibliographique nous prouverait que nous avons enfoncé des portes ouvertes. Mais, en mathématiques, c'est une démarche saine, pour ne pas dire indispensable.

Pour Bruno : oui, Peyrard pour l'édition Blanchard 1993 dont je dispose (et les précédentes bien sûr). Assez irritant à lire, mais ça vaut mieux que de prendre le texte grec et de chercher un helléniste !

Je vous quitte, je viens de beaucoup distraire à mon temps de travail.
Amitiés.

Félix
"Euclide, sans réellement définir la notion de sens"

C'est bien ce à quoi je pensais aboutir... et tout ça pour avoir un Thalès avec mesures algébriques...
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