Démonstration de l'inégalité de Lagrange

Quelques précisions:

Votre polynôme doit être unitaire ($a_n=1$), soit $\lambda$ une racine non nulle. Le tout est de se convaincre qu'il existe des réels $x_0,\cdots, x_{n-1}$ non tous nuls tels que:
$$\left\{\begin{aligned}
-a_0x_{n-1}&=\lambda x_0\\
x_0-a_1x_{n-1}&=\lambda x_1\\
\vdots&=\vdots\\
x_{n-2}-a_{n-1}x_{n-1}&=\lambda x_{n-1}\end{aligned}\right.$$
Cela revient à prendre un vecteur propre de la matrice compagnon, associé à la valeur propre $\lambda$.
Soit $j$ tel que $|x_j|$ est le maximum des $|x_i|$: si $j>0$ alors on écrit que: $x_{j-1}-a_{j}x_{n-1}=\lambda x_{j}$ et donc $|\lambda|=|\frac{x_{j-1}-a_{j}x_{n-1}}{x_j}|\leqslant 1+|a_j|$; si $j=0$ la première équation donne $|\lambda|\leqslant |a_0|$.

C'est une majoration en valeur absolue dans $\mathbb R$!

Je l'ai dit dans mon message! Je me cite:

Cela revient à prendre un vecteur propre de la matrice compagnon, associé à la valeur propre $\lambda$.

Il est certain qu'à côté, le recours à la matrice compagnon fait un peu marteau pilon

on peut s'étonner que $1$, même si c'est un nombre remarquable, joue un rôle particulier. En fait pour tout $\lambda>0$, on peut considérer aussi le polynôme $$a_0 \lambda^n + a_1 \lambda^{n-1} x + \cdots + a_{n-1} \lambda x^{n-1} + x^n$$
dont les racines sont $\lambda$ fois celles du premier polynôme, donc en notant $\rho$ le max des modules des racines du polynôme de départ on a aussi
$$\lambda \rho \leq 1 + \max_j \lambda^{n-j} |a_j|$$
ou encore, pour tout $x>0$,
$$\rho \leq x + \max_{0\leq j\leq n-1} x^{1+j-n} |a_j|$$
La véritable majoration fournie par la méthode est donc l'infimum de toutes ces majorations (qui sont médiocres si soit $x$ est petit, soit $x$ est grand, et on peut imaginer qu'il y a une littérature sur comment pousser plus loin encore le raisonnement, . . . mais en première S, c'est déjà très bien si on sait faire avec $x=1$!)

Bonjour, juste une question de calcul, je ne vois comment on obtient la dernière majoration $\rho \leq x + \max_{0\leq j\leq n-1} x^{1+j-n} |a_j|$ à partir de la précédente, on a divisé par $\lambda$ ? et/ou multiplié par $x$ ?

Merci. C'est tout bête je me suis embrouillé avec les notations

moi a écrit:

la majoration dépendant de $x$ tend vers l'infini en zéro et en l'infini, et est donc atteinte en un $x_0>0$ et est donc stricte

je voulais dire bien sûr «et son infimum sur tous les $x>0$ est donc atteinte en un $x_0>0$ et est donc stricte, car on a vu que pour chaque $x>0$ fixé, c'était une majoration stricte»