Suites (niveau TS)
dans Les-mathématiques
Bonjour!
Je dois étudier deux suites:
1) u(n+1)=[u(n)+1]/[u(n)+2] avec u(0)=0
2) v(n+1)=[v(n)+1]/[v(n)+2] avec v(0)=2
J'ai démontré que
- u(n) est croissante et majorée par 1
- v(n) est décroissante et minorée par 0
donc j'ai trouvé 0<=u(n)<=v(n)<1
On demande de démontrer que les suites sont adjacentes.
J'ai donc calculé v(n+1)-u(n+1) et je trouve [v(n)-u(n)]/[(v(n)+2)(u(n)+2)] (sauf erreur ?)
Mais là, je n'arrive pas à démontrer que cette différence tend vers 0 quand n tend vers l'infini..... Une piste?
Je dois étudier deux suites:
1) u(n+1)=[u(n)+1]/[u(n)+2] avec u(0)=0
2) v(n+1)=[v(n)+1]/[v(n)+2] avec v(0)=2
J'ai démontré que
- u(n) est croissante et majorée par 1
- v(n) est décroissante et minorée par 0
donc j'ai trouvé 0<=u(n)<=v(n)<1
On demande de démontrer que les suites sont adjacentes.
J'ai donc calculé v(n+1)-u(n+1) et je trouve [v(n)-u(n)]/[(v(n)+2)(u(n)+2)] (sauf erreur ?)
Mais là, je n'arrive pas à démontrer que cette différence tend vers 0 quand n tend vers l'infini..... Une piste?
Réponses
-
Bonjour
Comme $u(n)$ et $v(n)$ sont positives $(v(n)+2)(u(n)+2)\geq 4$ donc la fraction... -
Sachant que tes suites sont positives, ne peux tu pas minorer le dénominateur par un nombre tres simple et en
déduire ce que tu cherches (par la recurrence que tu es en train de mettre en place)?
Eric -
OK! Je peux donc écrire [v(n)-u(n)]/[(v(n)+2)(u(n)+2)]<=(1/4)[v(n)-u(n)] mais je ne vois pas la limite de la différence v(n)-u(n) quand n tend à l'infini?
-
Si t'as un cheveu, que tu en coupes un bout plus petit que le quart, et que dans ce bout tu en recoupes
un bout plus petit que le quart du bout que tu viens de prendre etc, au bout d'un moment il ne te reste plus grand chose, non?
Eric -
Si on écrit v(n+1)-u(n+1)<(1/4)[v(n)-u(n)] cela suffit pour conclure que v(n)-u(n) tend vers 0?
-
mikel83 écrivait:
> Si on écrit v(n+1)-u(n+1)<(1/4)[v(n)-u(n)] cela suffit pour
> conclure que v(n)-u(n) tend vers 0?
Non, oeuf corse~!
Mais si en plus $v_{n} - u_{n}$ est toujours positif, alors tu peux faire une petite récurrence~:
$\displaystyle 0 \leq v_{1} - u_{1} \leq \frac{1}{4} ( v_{0} - u_{0}) $
$\displaystyle 0 \leq v_{2} - u_{2} \leq \frac{1}{4} ( v_{1} - u_{1}) \leq \frac{1}{16}( v_{0} - u_{0}) $~...
L'art de couper les cheveux en quatre comme te l'a dit Eric. -
Ah, oui! Comme ça je comprends mieux!
Merci San Antonio et à tous les autres...
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Bonjour!
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