Raisonnement fiable?

fredj · April 2004

Pour demontrer une proposition H, peut-on utiliser cette demarche de raisonnement?:

On part d'une affirmation fausse F et on fait des raisonnements avec jusqu' à aboutir à la démonstration de H barre(le contraire de H). Ainsi, peut-on conclure que H barre est faux puisque F est fausse. Donc peut-on conclure que H est vrai?

Je me pose cette question mais j'ai trouvé un contre-exemple qui repondrait non a ma question: Supposons que 2 est impair ( c'est F). Donc 2+2=4 doit être pair or là c'est vrai,4 est est pair ( c' est H barre). Ainsi si on utilise le raisonnement proposé dans le deuxième paragraphe on dirait que H barre est faux. Or H barre est vrai.

Pouvez- vous me conseiller?

Eric1 · April 2004

Si tu supposes que $2$ est impair, alors il existe $k\in\N$ tel que $2=2k+1$. Donc $2k=1$, je te laisse conclure ...

Rudy0 · April 2004

Salut Fredj,

Cela a déjà été maintes fois discuté sur le forum. En fait, d'une proposition fausse tu peux tirer du faux OU du vrai. Autant dire qu'il n'y a rien à espèrer en partant de F. SAUF à arriver à finalement contredire F, -et ça c'est le raisonnement par l'absurde.

Rudy

manuel · April 2004

En fait tu as toi même répondu : ce raisonnement ne tient pas!

Celà tient à la signification de "implique", qu'il est important de bien comprendre. Quand on dit $A\Rightarrow B$ celà signifie que B est "au moins aussi vraie" que A, ou de manière équivalente que A n'est "pas plus vraie que B"

Donc de A implique B et A vraie on déduit que B est au moins aussi vrai que vrai, donc vrai.
Si on a A implique B et B fausse, A n'est pas plus vraie que B, donc fausse.
Si on a A implique B et A fausse, B est au moins aussi vraie que A, ce qui n'est pas difficile vu que A est fausse, donc on ne peut rien dire sur B et c'est là la faille de ton raisonnement initial.

De même une erreur fréquente et dont on a parlé récement ici consiste à faire un "raisonnement par le non absurde", c'est-à-dire on part d'une proposition A, on en déduit une proposition B. Or on sait que B est toujours vraie et on est tenté d'en déduire que A l'est aussi.
C'est incorrect, car A implique B et B vraie nous dit seulement que A est moins vraie que B qui l'est toujours, donc on n'apprend rien sur A.

Si tu es en Term, regardes à la fin de ton bouquin, il y a peut-être des trucs sur la logique, c'est intéressant à creuser. (sur le mien, transmath 98 nathan, il y avait ça et je l'ai découvert il y a une semaine seulement...)

Manu.

fikri0 · April 2004

la logique est logique car la logique c la seule chose qui ne peut pas etre non logique
et si tu trouve qlq chose qui pas logique ca veut dire que ton raisonment n est pas logique ... ben c de la logique
si on a:
$(A vrai) \Rightarrow ( B vrai)$
le contraire logique de cette proposition est
$(B faux)\Rightarrow (A faux)$
donc ce que tu a suposer c est pas de la logique

manuel · April 2004

<a href=" http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=67022&t=67022#reply_67022"> http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=67022&t=67022#reply_67022</a> pour une question qui traite plutôt de la deuxième erreur que je t'ai signalé, mais ça fait un débat de logique et ça vaut toujours le coup...

manuel · April 2004

voir aussi <a href=" http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=69635&t=69254#reply_69635"> http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=69635&t=69254#reply_69635</a> avec la même remarque.

Rudy0 · April 2004

Re-Bonjour,

Puisque l'on revient à cette histoire de logique, auriez-vous l'amabilité de lire ce qui suit, et de répondre à la question finale. Merci :-)

Je ne reviens pas sur le fait que d’une proposition vraie on ne peut tirer qu’une proposition vraie.
En revanche, je m’arrête sur le fait que d’une proposition fausse on peut tirer soit une proposition fausse, soit une proposition vraie.
Prenons deux exemples tout bêtes, pour être clairs.

1°) « Pour tout nombre naturel n, nous avons 2n = 6 » est une prop fausse, mais il est vrai que cette proposition implique (ou si vous préférez «impliquerait si elle était vraie ») que :
« Pour tout nombre naturel n, nous avons 2n + 1 = 7 », qui est une proposition tout aussi fausse.
Cela pour illustrer le fait que du faux peut donner du faux.

2°) « Pour tout nombre naturel n, nous avons 2n=6 » est une proposition fausse, mais il est vrai que notre propriété implique ou impliquerait que :
« Pour n = 3, nous avons 2n=6 », qui est une proposition vraie.
Ceci pour illustrer le fait que du faux peut donner du vrai.

A présent nous pouvons sortir des mathématiques et écrire :

« Les hommes sont des carnassiers » donc « les hommes ont des dents », nous voici avec du faux qui implique du vrai (l’implication s’y entend toujours comme plus haut,-et rien ne vient heurter l’intelligence), tout comme nous aurions facilement du faux qui implique du faux.

Mais ici, comment fait-on pour passer à :

« Bush est le roi des belges » donc « La France est en Europe » ? Ou encore :
« Je suis Dieu implique 2 est pair » (Pour reprendre l’ex de Gari)

Evidemment pas sous le simpl prétexte que du faux peut donner du vrai. Alors comment ? Je suis perplexe. ( Pensez donc à illustrer vos propos avec des exemples aussi clairs et idiots que ceux que j’ai utilisés :-)

D’avance merci

Rudy

Gari · April 2004

Excellent Rudy... j'ai comme l'impression de sentir comme une sorte d'ironie visant à discréditer mon magnifique exemple "Je suis Dieu donc 2 est pair".

Mais c'est justement pour montrer que c débile !!! ahahahaha !!!!

C'est facile pourtant.

Dieu est le père des hommes, donc c'est un pair.
Je suis moi aussi papa, je suis donc un pair aussi.

Dieu et moi sommes deux entités, nous sommes 2.
Mais, en même temps, nous sommes la même chose (puisque je suis Dieu). Donc, je (nous ?) suis pair.

Donc 2 est pair.

CQFD !!!

Cordialement,

Gari.

PS : quiconque verrait là les délires d'un cerveau malade ne se tromperait peut-être pas.

manuel · April 2004

par la définition de "implique" : celle que j'ai donnée plus haut, ou plus formellement les tableaux de vérité.
A=F et B=F alors "A=>B"=V
A=F et B=V alors "A=>B"=V
A=V et B=F alors "A=>B"=F
A=V et B=V alors "A=>B"=V
C'est la "définition" de implique en logique. A noter que A et B sont des propositions (vraies ou fausses) et "A implique B" en est une nouvelle, dont on calcule la valeur de vérité par la table ci-dessus.

On notera également que "implique" n'est en aucun cas sensé traduire une quelconque idée de causalité...

Donc dans ton exemple, pour voir que "Je suis dieu implique 2 est pair", il suffit de lire le tableau ci-dessus en remarquant que "2 est pair" est vrai, donc quelle que soit la valeur de vérité de "je suis Dieu", celle de "Je suis Dieu implique 2 est pair" est... Vrai!

Dans la même veine, "2 est pair implique le grand thm de Fermat" est vrai, mais pour le démontrer il faut utiliser le grand théorème en question...

Manu.

michael · April 2004

Je suis Dieu donc j'ai toujours raison.
Et j'affirme que 2 est pair.
Comme j'ai toujours raison, 2 est bien pair.

Je te rappelle que je suis Dieu alors réfléchis avant de répondre. T'imagines pas de quoi je suis capable. Mécréant, va !

Dieu, clubber in Nazareth.

Eric · April 2004

Pour Gari, Michaël et rudy : vous êtes tous les trois dans l'erreur et je vous laisse deviner pourquoi ... :-)))

michael · April 2004

Tu es Dieu ?

Eric · April 2004

Dans mon incommensurable bonté, je te pardonne ton erreur. Va en paix (mais ne recommence pas !!!)

Rudy0 · April 2004

Pour Gari et Michaël, certes vous êtes drôles, mais vous auriez tout de même pu répondre à la question. D'autant que cette question était sensée puisque Manu y a simplement répondu.

En fait, j'en connaissais la réponse (je me suis aussi frotté à l'algèbre de Boole), mais je voulais voir la qualité de vos réponses.

Merci bien Manu

Amicalement

Rudy

PS Pour Eric, je ne peux pas être dans l'erreur. Sauf à pouvoir être dans l'erreur en posant une question.

ouali · April 2004

Slt;
Votre démarche n'est pas tellement claire pour dire si elle est vraie ou pas.
Par contre, l'exemple que vous avez consideré n'est pas fiable.
En effet votre démarche serait vraie si on allait de F à H barre par equivalence, ce qui n'est pas juste si on procédait par implication.
ie: si F <=> H et H est fausse, on conclue logiquement que F est également fausse.
tandis que si F=> H et H est fausse, on ne peut logiquement rien conclure. car partant du faut on peut tomber sur le faut comme sur le vrai!
En ce qui concerne ton exemple si tu considére que 2 est impair il en sera de méme pour 4; parceque si k est impair k+2 l'est aussi.
J'espère avoir répondu à ton problème!

michael · April 2004

Rudy : si j'avais su te répondre, je l'aurais fait avec plaisir.
En fait, j'avais une réponse - donnée par Manu - ("implique" n'est pas une relation de causalité) mais en réfléchissant, ça ne m'est pas venu en ces termes et je ne savais pas comment formuler tout ça.

Voilà, désolé

michaël.

Rudy0 · April 2004

Pas de problème ;-)
N'empêche que si j'avais été un étudiant de seconde, vos propos m'auraient laissé une drôle d'impression (si j'étais méchant, j'ajouterais : votre orthographe aussi :-)) mais je ne dis pas ça pour vous, rassurez-vous).

A+

Rudy

Le Furet · April 2004

D'abord, on dit pas seconde mais segonde !

Ensuite, en Segonde, il n'y a pas d'étudiants, on dit élève, ce qui est très différent : l'étudiant étudie, tandis que l'élève pose ses problèmes sur un forum !

Bruno · April 2004

En attendant, je risque fort de ne plus jamais te répondre rudy. Je n'aime pas, mais pas du tout que qui que ce soit me pose ostensiblement une question dont il connaît la réponse pour me tester. Après 40 ans d'enseignement, j'estime en avoir passé l'âge.
 
 Je t'avais préparé hier au soir une réponse d'ordre syntaxique, puis ne l'ayant pas jugée assez claire, je l'avais mise en réserve ; tu viens de l'expédier aux oubliettes.
 
 Bruno

Gari · April 2004

Rudy, si j'ai répondu en délirant c'était parce que j'avais cru que la question appelait une réponse de ce genre...
En bref, je ne pensais pas que ta question était sérieuse !

Désolé pour cette confusion.
Ceci dit, je ne t'aurais pas donné de réponse mathématique satisfaisante, étant loin d'être mathématicien !

Cordialement,

Gari.

tinin · April 2004

salut heu.. heu.. je... je suis incaapable de.. de.. comprendre le ..le..le..leeee délire de certa.. certa... certains. voila. merci

Jules Renucci · April 2004

Si 2 est pair, alors 4 est pair

Si 2 est impair, alors 4 est pair

Si 2 est impair, alors 4 est impair

Ces trois propositions sont VRAIES

Si 2 est pair, alors 4 est impair

Cette proposition est FAUSSE

C'est la conséquence de la définition de l'implication matérielle acceptée par la plupart des systèmes de logique de notre époque.

Il s'agit bien entendu de logique formelle relative à des énoncés de la forme : "Si" P, "Alors " Q . Ce sont des énoncés "conditionnels"
La proposition ouverte par "Si", est l'"antécédent"; celle ouverte par "alors" est le "conséquent"
Autre chose : L'implication matérielle en logique formelle ne signifie AUCUNE causalité.

fredj · April 2004

Jules renucci vous écrivez: " si 2 est impair alors 4 est impair" puis vous dites que cette proposition est vraie. C' est absurde: 2 est impair signifie qu' il peut s'écrire sous la forme 2n+1 (n E IN) donc 2+2= 2n+1+2n+1 est factorisable par deux donc 4 est pair.

Jean-Louis BERNOU1 · April 2004

Bonjour ,
Jules dit bien qu'il n'y a aucune relation de causalité dans l'implication dite "matérielle".
P implique Q est toujours vraie si P est fausse ,quelquesoit Q.
Jean-Louis.

riri · April 2004

Fredj je sais qu'on ne voit pas ça au niveau où tu es mais il a raison, donc tu es à moitié pardonné...
En effef P => Q <=> Q ou non(P)
Ici 2 impair => 4 impair <=> 4 impair ou 2 pair
Or 2 est pair donc cette assertion est vraie !

Yann10 · April 2004

encore une fois, Faux entraine suaai bien Vrai que Faux:
2 est impair <=> 2 s'ecrit 2n+1 => 4=2*2=2(2n+1) est pair
2 est impair <=> 2 s'ecrit 2n+1 => 4=2+2=2(n+1)+1 est impair

Cela montre d'ailleurs que deux est pair car sinon l'une des implications serais fausse.

Gari · April 2004

Fredj, 2+2= 2n+1+2n+1=4n+2=(2+2)n+2.
Or 2 est impair !
Donc 2+2 est pair. Un nombre pair multiplié par un nombre quelconque n est pair.
On rajoute à ce nombre 2, qui est un nombre impair. Or un nombre impair additionné à un nombre pair donne un nombre impair.

J'en conclus que

2 impair => 4 impair

CQFD (bien sûr, on peut trouver le raisonnement contraire, comme celui de Yann par exemple).

Eric Lafosse0 · April 2004

impair, mais able ! (Oui, bon, je sais, elle est pas terrible, mais dites, vous avez vu l'heure ? )

Gari · April 2004

lol !

Eric · April 2004

Pour Rudy, écrire "Je suis dieu implique 2 estpair", c'est déjà envisager que tu pourrais peut-être bien être dieu, et cela déjà est une grave erreur :-))

Rudy0 · April 2004

Bruno,

Tu as bien fait de réagir de la sorte, ainsi j’ai pris conscience d’avoir pu choquer indirectement et bien involontairement .
En fait, mes propos s’adressaient à des personnes bien précises et il fallait y voir une boutade (sans doute pointée d’orgueil je l’avoue). J’ai effectivement touché à l’Algèbre de Boole dans un lointain passé, mais c’était pour venir en aide à une étudiante en informatique. J’ai donc touché à cette Algèbre à un moment précis pour ne plus y revenir après.
Peut-être devrais-je dire que je ne suis en rien mathématicien de profession (mais ça chacun l’aura compris :-)). En fait c’est la mécanique automobile qui me permet de subvenir à mes besoins. Toutefois, je donne depuis une vingtaine d’années des cours particuliers de mathématiques (niveaux primaire et secondaire) en m’appuyant sur une vague expérience universitaire qui n’a pas abouti (mais qui m’a donné le goût des livres et de l’Histoire des Math). Cela fait donc de moi un autodidacte, bourré de lacunes et de connaissances toute originales mais pas forcément pratiques. Ainsi, pour revenir au fait qu’en logique, on puisse dire « Bush est le roi des belges » donc « La France est en Europe », m’avait évidemment fait pressentir il y a longtemps que le mot « implication » devait revêtir un autre sens. Mais cela me laissait et me laisse encore sur ma faim. D'où mon intervention :-)
En bref, je ne me souviens pas avoir réellement testé les connaissances de qui que ce soit sur ce forum. Mes questions peuvent parfois paraître naïves, mais c’est qu’alors les réponses habituelles ou les miennes propres ne me satisfont pas (comme c'était le cas ici)

Voilà, j'espère avoir dissipé tout malentendu. Désolé pour le désagrément que j'aurais pu causer.

Amicalement

Rudy

Bruno · April 2004

Bonjour rudy.

Arrêtons là la polémique, tu as visiblement touché un sujet assez sensible chez moi pour provoquer une réaction immédiate et je te prie d'excuser la vivacité de mon propos d'alors.

En dehors des farfelus et de ceux qui croient malin d'aligner des mots dont ils n'ont pas la moindre idée, j'aime bien échanger avec les autodidactes quand je peux apporter quelque chose.

Je reviens à ce que j'avais préparé pour te répondre car j'ai les idées un peu plus claires là dessus. Dire qu'un énoncé est vrai c'est dire qu'il est démontrable ou encore qu'il existe une démonstration de celui-ci (même si on ne la connais pas effectivement, on peux raisonner dessus). Prenons comme axiome une formule fausse $A$ (Bush est le roi des Belges) ; comme cette formule est fausse (pour des raisons sémantiques, je reviendrai plus loin là-dessus), il existe une démonstration formelle de sa négation $\neg A$. Or, c'est le point important, si $A$ et $B$ sont deux propositions {\bf quelconques}, la proposition
$$(\neg A) \Longrightarrow (A \Longrigntarrow

$$
est un axiome (ou un théorème, peu importe le statut ; pour t'en convaincre, tu peux vérifier que quelles que soient les valeurs de vérité des propositions $A$ et $B$, la proposition ci-dessus prend la valeur "vrai") ; donc, tu l'écris à la suite de la démonstration de $\neg A$ et tu obtiens une démonstration formelle en écrivant ensuite $A \Longrightarrow B$ puis on peut mettre à la suite $A$ car c'est un axiome et le texte formel reste une démonstration et enfin (ouf) en écrivant $B$ le texte complet est une démonstration formelle de la formule $B$.

Résumons : si $A$ est fausse, sa négation a une démonstration formelle et grâce à l'axiome on en déduit une démonstration formelle de la formule $B$ arbitrairement choisie.

Maintenant une remarque sur ton souci de concrétisation appliqué à ce genre de situation. Le problème que je trouve, dans ce cas particulier, c'est que l'on est quasiment obligé de rester au niveau sémantique du langage : on parle de proposition vraie ou fausse et ça c'est de la sémantique. Puis quand on prend les exemples et bien l'amateur, comme le professionnel qui prend un peu de recul, se disent : "mais qu'est-ce qu'on fait là ? \c Ca sert à quoi cet arsenal pour des trucs visiblement faux (vrais) ?". Bref, en général, la concrétisation casse la baraque :-))

Bruno

Bruno · April 2004

Zut !! Il faut lire :
$$(\neg A) \Longrightarrow (A \Longrightarrow

$$

Bruno

Rudy0 · April 2004

Bruno,

Je t'écris brièvement pour te remercier et t'assurer que ton message a retenu toute mon attention. Aussi, je me suis décidé à lire dans le texte quelques mathématiciens-logiciens comme Georges Boole (visiblement l'inventeur des math pures). Je dois dire que le fait de le lire directement pour comprendre ses motivations ou ses inspirations me le rend particulièrement sympathique. C'est déjà un bon point. Je vais donc tranquillement lire tous ces gens pour essayer de mieux comprendre leur démarche.
Toutefois le souci de concrétisation dont tu parles n'est pas un problème. Par exemple, d'emblée je perçois une approche très simple et plutôt esthétique à la base des travaux de Boole,-et celà suffit amplement pour m'y intéresser (j'ai bien dit très simple..."à la base", car ça se complique très vite). Je verrai où celà me menera et si je persévèrerai dans cette voie.

Encore merci et à bientôt

Rudy

Félix2 · April 2004

Bonjour,

Je constate que Fredj est choqué par vos exemples.
Comme l'a dit Jules Renucci, l'implication en logique n'est pas la même chose que l'implication ne mathématique, et elle ne recouvre pas (vraiment) une relation de causalité.
La seule chose certaine que l'on puisse en dire au niveau intuitif, de la compréhension de tous les jours, c'est qu'elle n'accepte pas la relation :
Si A est vraie, alors B est fausse.

Il faut bien comprendre aussi qu'en logique, les propositions avec lesquelles on travaille peuvent être vraies ou fausses, alors qu'en math "normales" on veut qu'elles soient vraies, on veut les démontrer, ou démontrer clairement qu'elles sont fausses.
En logique, on accepte que tout ce que l'on dit ait une valeur vraie ou une valeur fausse. Pour comprendre le mécanisme, on dresse des tables de vérité, avec tous les cas possibles de Vrai et de Faux.

Et on aura un lien entre l'implication en logique et l'implication en mathématique "habituelle" en disant :

A implique B (implication logique)
ET
A est Vraie

Ca peut te paraître un peu compliqué, mais dresser les tables de vérité aide très fortement à comprendre ce qui se passe et à dépasser les contradictions que l'on ressent au premier abord.

Evidemment, même comme ça, certaines choses restent un peu mystérieuses, au moins pendant un certain temps, et on a quand même un peu de mal à se sentir intimement convaincu. Mais cette démarche me semble incontournable pour réussir à finalement cerner la notion en question.
Amicalement.

Félix

Heizmann · April 2004

Fikri : si je puis me permettre, le contraire de $A\Rightarrow B$ n'est
certainement pas $\nag B\Rightarrow\nag A$ ! En fait, ces deux propositions
sont synonymes !\\
Le vrai contraire est : \[A\wedge\nag B\]
Cordialement, Heizmann