Un exo subtil ...

Eric · April 2004

Ca fait un bout de temps que je n'ai pas proposé un exo sur le forum. Celui-là peut se traiter de façon bourrine, mais une solution subtile en 4 lignes et sans trop de calcul serait préférable ...

Soit $a_1,\dotsc,a_n,b_1,\dotsc,b_n\in\R$. On considère la matrice $(m_{ij})_{1\leq i,j\leq n}\in\mathcal{M}_n(\R)$ définie par $m_{ij}=a_i+b_j$. On suppose que les produits des éléments d'une colonne sont tous égaux. Montrer qu'il en est de même des produits des éléments d'une ligne.

jaybe · April 2004

Ne faudrait-il pas rajouter l'hypothèse que les $(a_i)_{i \in [\![1,\ldots,n]\!]}$ sont deux à deux distincts ?

Eric · April 2004

Damned, je savais bien que j'avais oublié quelque chose ... les $a_i$ et $b_i$ sont deux à deux distincts.

François D. · April 2004

En transposant ... ?

OK, je me tais

!

pat0 · April 2004

Bonjour,

Je pense avoir trouvé la subtilité.

Le produit des coefficients de chaque colonne de la matrice est égal à une constante notée C.

b1,...,bn sont des racines (2 à 2 distinctes) du polynôme unitaire de degré
n suivant : P(X) = (X+a1)*...*(X+an) - C

donc P(X) = (X-b1)*...*(X-bn)

soit i un entier de [1,n]

en prenant X= -ai, on montre que le produit de coef de la i ème ligne
de la matrice vaut une constante indépendante de i

Eric · April 2004

C'est du tout bon !

Un exo subtil ...

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Bonjour!

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