Approximation de pi par une loi de Bernoulli

jeremyjeff · January 2012

Bonjour,

Je cherche une démonstration de cette assertion :

"On considère un lancer de pièces. La probabilité qu'il y ait le même nombre de fois pile et face sur 2n lancés est : 1/racine(pi*n)."

Je ne vois vraiment pas d'où cela sort.
Pour les lancers de pile et face, il y a la loi de Bernoulli, qui peut être approchée par :
- Une loi exponentielle si n est grand et que le produit np est contant.
- Par une loi normale si n est grand
Je suppose donc que cela vient de l'approximation avec une loi normale, mais comment démontrer que la probabilité cherchée est : 1/racine(pi*n) ?

Merci
Salutations

[Bernoulli mérite une majuscule et le respect de son patronyme (pas de 'i' devant 'lli'). AD]

FdP-unplugged · January 2012

\ a écrit:

M'est avis, mais je peux me tromper, que cette assertion n'est pas correcte: j'imagine que cette probabilité est ,en fait, asymptotiquement l'expression donnée.

Guego · January 2012

La probabilité exacte est $\dfrac{\binom{2n}{n}}{2^{2n}}$, qui est équivalent à $\dfrac{1}{\sqrt{\pi n}}$ d'après la formule de Stirling.

jeremyjeff · January 2012

Ok, merci

jean lismonde · January 2012

bonsoir

il convient de rectifier historiquement la réponse de Guego:
l'équivalence est exacte mais elle est due à Wallis
qui l'a démontrée en déduction de ses intégrales trigonométriques

alors que Stirling n'a fait que l'utiliser à partir de l'équivalence
(trouvée par Abraham Moivre) de factorielle de n
pour préciser en particulier la constante qui intervient : rac(pi)

on utilise cet équivalent de Wallis pour estimer la proba qu'au second tour de l'élection présidentielle
les deux candidats restants obtiennent exactement le même nombre de voix
en supposant qu'ils aient les mêmes chances a priori
et sachant que le nombre des suffrages exprimés est un nombre pair par exemple 2n = 40 millions
question subsidiaire posée aux élèves de prépa dans leur colle de math: lequel des deux sera élu?
en général connaissant mal le code électoral ils ne trouvent pas la bonne réponse: le plus âgé est élu!

cordialement

Fin de partie · January 2012

question subsidiaire posée aux élèves de prépa dans leur colle de math: lequel des deux sera élu? en général connaissant mal le code électoral ils ne trouvent pas la bonne réponse: le plus âgé est élu! a écrit:

Il n'y aura pas de problème cette année. Si une chèvre pouvait se présenter contre un certain candidat, elle serait élue haut la patte et on n'aurait pas besoin de connaître l'âge de la chèvre B-)-