(a+b) — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world

(a+b)

julia8julia8
dans Les-mathématiques
je dois montrer que somme de (n p)^2 = (2n n) symbole des combinaisons.
je ne vois pas comment faire puisque somme de (n p)^2 = 4^n !
merci de votre aide

Réponses

  • Nîmes-manNîmes-man
    Combien as-tu de façons de choisir n éléments parmi 2n ?

    Réponse :
    - tu peux en prendre 0 parmi les n premiers et n parmi les n derniers,
    - ou tu peux en prendre 1 parmi les n premiers et n-1 parmi les n derniers,
    - ou tu peux en prendre 2 parmi les n premiers et n-2 parmi les n derniers,
    - ...
    - ou enfin tu peux en prendre n parmi les n premiers et 0 parmi les n derniers.
  • evev
    Bonjour Julia.

    Sauf erreur de ma part tu dois montrer que
    $$\sum_{p=0}^n \binom np^2 = \binom {2n}n,$$
    tandis que tu sais que
    $$\left(\sum_{p=0}^n \binom np\right)^2 = 4^n.$$

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • MagnoliaMagnolia
    Bonjour

    Je suppose que la somme se fait sur $p$. Ta dernière formule est fausse! Alors une manière de démontrer la relation demandée, est de regarder les parties ayant $n$ éléments parmi $2n$ comme formées de $p$ éléments parmi les $n$ premiers et $n-p$ éléments parmi les $n$ autres.
  • julia8julia8
    Oui je viens de voir mon erreur, je dois (n p) = (n p-1) ?
  • julia8julia8
    je ne vois pas comment procéder, un indice ?
  • joel_5632joel_5632
    Relis le message de Nîmes-man. Il a presque tout dit

    A condition de savoir que $C_n^k = C_n^{n-k}$
  • julia 18julia 18
    je vois bien qu'il y a une relation entre les deux, de plus on me dit que je peux utiliser (a+b)^2n donc je pense dire que a=1 et = 1 non ?
  • joel_5632joel_5632
    Moi je ne vois pas avec (a+b)^2n (mais c'est peut être possible)
    En revanche si je reprends le message de Nimes-man
    Combien as-tu de façons de choisir n éléments parmi 2n ?

    Réponse :
    - tu peux en prendre 0 parmi les n premiers et n parmi les n derniers,
    $C_n^0 \times C_n^n$
    - ou tu peux en prendre 1 parmi les n premiers et n-1 parmi les n derniers,
    $C_n^1 \times C_n^{n-1}$
    - ou tu peux en prendre 2 parmi les n premiers et n-2 parmi les n derniers,
    $C_n^2 \times C_n^{n-2}$
    - ...
    - ou enfin tu peux en prendre n parmi les n premiers et 0 parmi les n derniers.
    $C_n^n \times C_n^{0}$
    Fais la somme de tous ces termes
  • julia8julia8
    je peux dire que (n,p)^2 = (n, n-p)^2
  • joel_5632joel_5632
    ?
  • GottfriedGottfried
    Comme alternative aux solutions déjà indiquées tu peux obtenir le résultat en contemplant: \[ (1+a)^n \cdot (1+a)^n = (1+a)^{2n}\]
    et en identifiant dans cette identité, par unicité, le coefficient de $a^n$. Ça aide si on peut utiliser des symboles abstraits comme $\sum_{j=0}^n$ et $\sum_{k=0}^n$ car on a besoin d'un deuxième indice pour la deuxième copie de $(1+a)^n$.

    PS: le mot «indice» signifie «indice de sommation», mais bon, je soupçonne que ma phrase a un sens aussi dans un contexte d'inspecteur Colombo.
  • julia8julia8
    et pourquoi a ?
  • GottfriedGottfried
    parce que si par exemple $c_0 + c_1 a + c_2 a^2 = d_0 + d_1 a + d_2 a^2$ pour tous les $a$ alors $c_0 = d_0$, $c_1 = d_1$, $c_2 = d_2$.
  • julia8julia8
    j'ai donc somme de (n,p)^2 a^n 1n-p
  • julia8julia8
    a^n 1^(n-p) et après ?
  • GottfriedGottfried
    euh 1n-p, je suppose que ça veut dire 1? en fait tu as $\sum_{0\leq p\leq n}\binom{n}{p}\binom{n}{n-p} a^n = \binom{2n}{n} a^n$ et tu utilises alors en plus que $\binom{n}{p}=\binom{n}{n-p}$.
  • julia 18julia 18
    je peux dire que (n,p) +(n,n-p)=(2n,n) . On peut les ajouter ? Mais mon a, sert juste à expliquer
  • Nîmes-manNîmes-man
    gottfried a écrit:
    Comme alternative aux solutions déjà indiquées tu peux obtenir le résultat en contemplant:
    $\displaystyle (1+a)^n \cdot (1+a)^n = (1+a)^{2n}$

    Variante : calculer la dérivée $n^e$ suivante $\left((1+x)^n \cdot (1+x)^n\righ)^{(n)}$ avec la formule de Leibniz. Puis sans.
  • GottfriedGottfried
    julia 18 a écrit:
    je peux dire que (n,p) +(n,n-p)=(2n,n) . On peut les ajouter ? Mais mon a, sert juste à expliquer

    Julia 18, avant tu étais julia8, dans les deux cas tu me sembles un peu jeune et encore avec pleins de questions sur l'existence et les coefficients du binôme en particulier. Peut-être devrais-tu consulter un livre?
  • joel_5632joel_5632
    Arrêtez d'embrouiller Julia :)
  • julia8julia8
    Je sais bien mais je dois le faire et je ne comprends pas, je vois bien avec (a+b)^n*(a+b)^n = (a+b)^2n
    mais je ne sais pas comment procéder
  • julia8julia8
    expliquez moi tranquillement sans me donner la réponse mais je ne comprends pas mais cela va venir
  • GottfriedGottfried
    @joel_5632, allez, je te la passe.
  • joel_5632joel_5632
    La première méthode qui consistait à dénombrer les parties à n éléments dans un ensemble à 2n éléments était bien plus simple. Maintenant si tu tiens à partir de $(a+b)^n \times (a+b)^n = (a+b)^{2n}$, pourquoi pas.

    Déjà tu n'as pas besoin de b, donc on part de $(a+1)^n \times (a+1)^n = (a+1)^{2n}$

    là tu dois connaître la formule du binome de Newton

    $(a+1)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k a^k$
    $(a+1)^{2n} = \sum_{k=0}^{2n} C_{2n}^k a^k$

    Le coefficient du terme en $a^n^$ dans $(a+1)^n \times (a+1)^n$ est $\sum_{k=0}^n C_n^k C_n^{n-k} = \sum_{k=0}^n (C_n^k)^2$
    Le coefficient du terme en $a^n^$ dans $(a+1)^{2n}$ est $C_{2n}^n$

    et ces deux coefficients sont les mêmes puisque $(a+1)^n \times (a+1)^n = (a+1)^{2n}$

    donc $\sum_{k=0}^n (C_n^k)^2 = C_{2n}^n$
  • julia8julia8
    comment le n se transforme en k ? Et ce n'est pas (n,p) = (n, n-p ) ?
  • joel_5632joel_5632
    j'ai pris k au lieu de p.
  • julia8julia8
    j'ai pensé que comme quand on s'arrête à n on a (n,k) donc quand on s'arrête à 2n on fait (n,k) +(2n,n)
    je veux dire que on rajoute la partie de n à 2n. Non ?
  • julia8julia8
    Comme en terme a^n est somme de (n,p)^2
    quand à a^n avec (a+b)^2n , on a donc a^(n-k)= a^(2n-n) donc on a C(2n,n)
    j'explique pour chaque chose
  • joel_5632joel_5632
    julia8 écrivait:
    Comme le terme a^n est somme de (n,p)^2
    quand à a^n avec (a+b)^2n c'est C(2n,n)

    donc somme de (n,p)^2 = C(2n,n)

    oui
  • gerard0gerard0
    Bonsoir Julia.

    manifestement, tu ne comprends pas. Mais que sais-tu vraiment, en dehors de (n,p) = (n, n-p ) ?
    Tu es en quelle classe ? As-tu dans tes cours la notation des sommes avec $\sigma$ ? Et la formule du binôme ?

    Si tu réponds non à ces deux questions, il est inutile de continuer, et tu racontais n'importe quoi dans un message précédent ("je vois bien avec (a+b)^n*(a+b)^n = (a+b)^2n
    mais je ne sais pas comment procéder").
    Si tu réponds oui à ces deux questions, il te reste à lire sérieusement l'explication de Joël et à la comprendre. Seule, car la compréhension se passe dans ton cerveau, pas sur l'écran de l'ordinateur.

    Cordialement.
  • julia8julia8
    Merci pour ton aide joël et ta patience, je crois avoir compris le mécanisme. Et je réfléchis même devant mon écran !
  • joel_5632joel_5632
    La partie un peu compliquée de la démonstration est:

    Le coefficient du terme en $a^n^$ dans $(a+1)^n \times (a+1)^n$ est $\sum_{k=0}^n C_n^k C_n^{n-k} = \sum_{k=0}^n (C_n^k)^2$

    bon déjà $ C_n^k = C_n^{n-k}$ ça tu le sais, donc $\sum_{k=0}^n C_n^k C_n^{n-k} = \sum_{k=0}^n (C_n^k)^2$

    Puis prend n = 3 par exemple, et developpe $(a+1)^3 \times (a+1)^3$ sur un papier et cherche le coefficient de $a^3$

    $(a^3 + 3a^2 + 3a + 1) \times (a^3 + 3a^2 + 3a + 1)$

    et on cherche le coefficient de $a^3$ si on developpait complètement ce produit

    $a^3 \times 1 + 3a^2 \times 3a + 3a \times 3a^2 + 1 \times a^3 $
    = $a^3 ((1 \times 1) + (3 \times 3) + (3 \times 3) + (1 \times 1)) $

    tu vois on retrouve $\sum_{k=0}^3 C_3^k C_3^{3-k} = \sum_{k=0}^3 (C_3^k)^2$
  • julia8julia8
    Mais on a (2n,n ) ce qui revient à la même chose puisqu'on a pas le signe somme
  • joel_5632joel_5632
    où ?
  • julia8julia8
    On doit trouver (2n,n)
  • joel_5632joel_5632
    Le coefficient du terme en $a^n^$ dans $(a+1)^{2n}$ est $C_{2n}^n$
    Le coefficient du terme en $a^n^$ dans $(a+1)^n \times (a+1)^n$ est $\sum_{k=0}^n (C_n^k)^2$

    donc $C_{2n}^n = \sum_{k=0}^n (C_n^k)^2$
  • julia14julia14
    dernière question pourquoi le somme s'en va dans (2n,n ° ?
  • joel_5632joel_5632
    parce que on ne prend que le coefficient du terme en $a^n^$


    pour comprendre cet exercice, il faut connaître la formule du binome de Newton

    http://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_du_binôme_de_Newton
  • julia8julia8
    c'est bien ce que je me disais
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