Inéquation fonctionnelle

Hello,

L'astuce classique consiste à faire deux intégrations par parties sur $\int_{x}^{x+\pi} f''(t) \cos(t+\theta) \, dt$, puis à bien choisir $\theta$.

A priori, je préfère nettement la solution sans astuce . Mais il y a sans doute des idées intéressantes dans l'autre méthode aussi.

Je ne vois pas très bien pourquoi la solution de l'équation différentielle fournit une réponse au problème initial. Ainsi, f=x² satisfait f + f " >=0 partout sans que x² ne soit de quelque façon relié à l'équation différentielle, EQD, ne considérant que la stricte égalité. En effet, le problème initial en est un d'inégalité, et la solution de l'EQD fournit en quelque sorte une borne, mais non TOUTES les fonctions possibles satisfaisant f + f " > = 0. Il me semble qu'un principe de calcul variationnel est requis pour conclure proprement sur l'ensemble possible des fonctions dérivables admettant f + f " > 0 ( mais je ne vois pas comment le faire intervenir ). Je me trompe?

La méthode de la variation des constantes conduit à chercher les solutions de l'équation différentielle linéaire du second ordre \(y''+y=g\) sous la forme~:
\[f(x)=u(x)\cos x+v(x)\sin x\]
en résolvant le système:
\[\begin{cases}u'(x)\cos x+v'(x)\sin x=0\\-u'(x)\sin x+v'(x)\cos x=g(x)\end{cases}\]
d'où:
\[\begin{cases}u'(x)=-g(x)\sin x\\v'(x)=g(x)\cos x\end{cases}\]
et:
\begin{align*}f(x)+f(x+\pi)&=u(x)\cos x+v(x)\sin x-u(x+\pi)\cos x-v(x+\pi)\sin x\\&=-\cos x\int_x^{x+\pi}u'(t)\,dt-\sin x\int_x^{x+\pi}v'(t)\,dt\\&=\int_x^{x+\pi}g(t)(\sin t\cos x-\cos t\sin x)\,dt\\&=\int_x^{x+\pi}g(t)\sin(t-x)\,dt.\end{align*}
Pour tout nombre réel \(t\) appartenant à \([x,x+\pi]\): \(0\leq t-x\leq\pi\), donc \(\sin(t-x)\geq0\); l'hypothèse de positivité de la fonction \(g=f+f''\) permet de conclure immédiatement à:
\[f(x)+f(x+\pi)\geq0.\]

Vanderghast a écrit:

Ainsi, f=x² satisfait f + f " >=0 partout sans que x² ne soit de quelque façon relié à l'équation différentielle,

La fonction f est solution de l'équation différentielle y''+y=2+x².