énoncés faux mais attirants
Ce fil est pour étoffer une petite enquète sur des généralisations fausses du fini à l'infini (ou ce genre) et voir si des gens ont culturellement des infos sur des avancées récentes, je cite quelques énoncés, mais j'espère qu'il y aura d'autres énoncés qui ne viennent pas tout de suite à l'idée postés par d'autres. Tous ces énoncés sont faux et deviennent souvent vrais, une fois rajoutées une ou plusieurs conditions
1) Tout arbre ayant des branches finies arbitrairement longues a une branche infinie
2) Tout ultrafiltre est principal
3) Tout ordre total ayant un assez gros cardinal contient un ensemble non vide sans minimum
4) Tout graphe qui ne peut être colorié avec un n couleurs contient une (n+1)-clique comme sous-graphe
5) Pour toute suite d'applications $f_n$ de E dans E, il existe une suite u telle que pour tout entier n, $u(n)=f_n(u(n+1))$
6) tout ce qui est prouvable est vrai
7) toute application admet un point fixe
8) tout espace compact et séparé a un petit cardinal
Je commente "l'état" de l'art bien connu concernant ces énoncés.
(1) un arbre est la donnée d'un ensemble E et d'un ensemble T de suites finies à termes dans E. Dire qu'il a des branches de longueur arbitrairement grandes, c'est dire que pour tout n, il existe p>n, il existe une suite de longueur p qui est dans T. une branche infinie de T c'est une suite u telle que pour tout entier n, il existe p>n tel que $(u(1),...,u(p))\in T$
(2) avec l'axiome du choix, il y a beaucoup beaucoup d'ultrafiltres non principaux (ils forment même un espace compact assez violent). En l'absence de tout autre axiome, ZF tolère l'axiome (2) à ma connaissance (il fait donc un peu exception à la règle de "fausseté annoncée".
(3) En dehors des spécialistes, beaucoup de gens perçoivent que plus la taille augmente plus il est "difficile" de mettre un bon ordre sur un ensemble. Pourtant les ordinaux (définis dans ZF seul) sont un contre-exemple célèbre et épuré.
(4) un très bon mathématicien non spécialiste de théorie des graphes m'a dit une fois au détour d'un couloir qu'il venait d'envoyer un article où il s'était servi de cet énoncé qu'il avait admis, le pensant "évident" et a été "emmerdé" quand je l'ai informé que c'était faux. I m'a dit "merde, c'est con je n'y avais pas assez réfléchi. A remarquer qu'une nuance de l'énoncé4 est une conjecture très célèbre et la plus importante de théorie des graphes: la conjecture de Hadwiger (je l'adore).
(5) Ah, si (5) était vrai qu'est-ce qu'on pourrait s'amuser en faisant de constructions par récurrence à l'envers!!! Hélas, par exemple, même en essayant de ne pas tricher, elle semble résolument fausse (par exemple même en prenant $\Z$ ou etc, au lieu de $\N$)
(6) C'est peut-être un des "plus gros scandale" non médiatisé. Bcp de gens "fonctionnent" en croyant à cet énoncé alors qu'on sait depuis l'avènement du Godélisme qu'il est irrémédiablement faux: toute théorie "honnête" qui admet cet axiome "honnêtement" est contradictoire (autrement dit il est "prouvablement" faux)
(7) sans commentaire. Même quand on essaie de ne pas tricher, il y a des contre-exemples mathématiques. Ne pas tricher voulant dire essayer de ne pas "éliminer" le côté pratique "physique", etc. Je mettrai un lien
(8) bin c'est faux via Tychonoff, mais "tentant" aussi
Connaissez-vous d'autres énoncés de ce jus-là. "Ile de la tentation" des énoncés en quelque sorte? tous ces énoncés ont en commun que pour chacun d'eux, au moins un mathématicien spécialisé dans autre chose me l'a conjecturé au moins une fois dans des circonstances superficielles et sans réfléchir (ce n'était pas des erreurs de "frappe" mentale, mais plutôt des expressions de "tentation")
1) Tout arbre ayant des branches finies arbitrairement longues a une branche infinie
2) Tout ultrafiltre est principal
3) Tout ordre total ayant un assez gros cardinal contient un ensemble non vide sans minimum
4) Tout graphe qui ne peut être colorié avec un n couleurs contient une (n+1)-clique comme sous-graphe
5) Pour toute suite d'applications $f_n$ de E dans E, il existe une suite u telle que pour tout entier n, $u(n)=f_n(u(n+1))$
6) tout ce qui est prouvable est vrai
7) toute application admet un point fixe
8) tout espace compact et séparé a un petit cardinal
Je commente "l'état" de l'art bien connu concernant ces énoncés.
(1) un arbre est la donnée d'un ensemble E et d'un ensemble T de suites finies à termes dans E. Dire qu'il a des branches de longueur arbitrairement grandes, c'est dire que pour tout n, il existe p>n, il existe une suite de longueur p qui est dans T. une branche infinie de T c'est une suite u telle que pour tout entier n, il existe p>n tel que $(u(1),...,u(p))\in T$
(2) avec l'axiome du choix, il y a beaucoup beaucoup d'ultrafiltres non principaux (ils forment même un espace compact assez violent). En l'absence de tout autre axiome, ZF tolère l'axiome (2) à ma connaissance (il fait donc un peu exception à la règle de "fausseté annoncée".
(3) En dehors des spécialistes, beaucoup de gens perçoivent que plus la taille augmente plus il est "difficile" de mettre un bon ordre sur un ensemble. Pourtant les ordinaux (définis dans ZF seul) sont un contre-exemple célèbre et épuré.
(4) un très bon mathématicien non spécialiste de théorie des graphes m'a dit une fois au détour d'un couloir qu'il venait d'envoyer un article où il s'était servi de cet énoncé qu'il avait admis, le pensant "évident" et a été "emmerdé" quand je l'ai informé que c'était faux. I m'a dit "merde, c'est con je n'y avais pas assez réfléchi. A remarquer qu'une nuance de l'énoncé4 est une conjecture très célèbre et la plus importante de théorie des graphes: la conjecture de Hadwiger (je l'adore).
(5) Ah, si (5) était vrai qu'est-ce qu'on pourrait s'amuser en faisant de constructions par récurrence à l'envers!!! Hélas, par exemple, même en essayant de ne pas tricher, elle semble résolument fausse (par exemple même en prenant $\Z$ ou etc, au lieu de $\N$)
(6) C'est peut-être un des "plus gros scandale" non médiatisé. Bcp de gens "fonctionnent" en croyant à cet énoncé alors qu'on sait depuis l'avènement du Godélisme qu'il est irrémédiablement faux: toute théorie "honnête" qui admet cet axiome "honnêtement" est contradictoire (autrement dit il est "prouvablement" faux)
(7) sans commentaire. Même quand on essaie de ne pas tricher, il y a des contre-exemples mathématiques. Ne pas tricher voulant dire essayer de ne pas "éliminer" le côté pratique "physique", etc. Je mettrai un lien
(8) bin c'est faux via Tychonoff, mais "tentant" aussi
Connaissez-vous d'autres énoncés de ce jus-là. "Ile de la tentation" des énoncés en quelque sorte? tous ces énoncés ont en commun que pour chacun d'eux, au moins un mathématicien spécialisé dans autre chose me l'a conjecturé au moins une fois dans des circonstances superficielles et sans réfléchir (ce n'était pas des erreurs de "frappe" mentale, mais plutôt des expressions de "tentation")
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Réponses
Je suis un peu étonné par ton (6). Je ne sais pas ce qu'est le "Godélisme" (je sais juste que Gödel a démontré un théorème de complétude et des théorèmes d'incomplétude), mais pour moi, le (6) est le contenu du théorème dit de "correction" ("soundness" en anglais). En revanche, par le théorème d'incomplétude, pour un système "raisonnable" et pour n'importe quel modèle de ce système, il existe des énoncés vrais non prouvables. En conclusion, l'énoncé faux, pour moi, serait plutôt :
6) tout ce qui est vrai est prouvable
"tout ce qui est vrai est prouvable", je ne le classerais pas (personnellement) dans les énoncés "attirants". C'est une erreur commune faite par certains non logiciens qui relèvent plutôt d'une négligence de vocabulaire (ils s'en fichent de ce que veut dire "vrai" (ce qui peut d'ailleurs se comprendre, vu que ça n'a pas de définition non relative à un modèle) et ont un caprice en "décidant" d'appeler "vrai" ce que les autres appellent prouvable). Mais je laisse disons ce caprice" de ces "non logiciens" de côté.
Je ne parlais non plus bien sûr pas du théorème de correction (qui est un théorème et non un énoncé faux), mais du fait que tout ajout "honnête" au second ordre de l'énoncé $W:=\forall X: (D(X)$ => $X)$ à une théorie (du second ordre) qui par ailleurs est suffisamment riche pour parler de bcp de choses déclenche une contradiction (quand on donne un sens même minimal de "X démontrable" à la forme D(X)).
Tu as raison de mentionner que la découverte habituellement rangée sous ce que j'appelle le "godélisme" (je trouve ça joli phonétiquement d'ailleurs) est plutôt la version $\exists X: (X$ et $non(D(X))$. Mais je n'aime pas cette version "modeste" qui ne rend pas bien compte de l'uniformité de l'argument godélien:
1) soit P un énoncé prouvablement équivalent à "il est prouvable que W=>nonP" (le godélisme rend prioritaire les théories qui construisent facilement de tels P)
2) Supposons P. Alors il est prouvable que W=>nonP
3) donc si W alors W=>non P
4) donc si W alors nonP
5) donc nonW
---
6) on vient de prouver W=>nonP
7) donc P
8) donc... on recommence... nonW
Rappel de l'argument godélien canal historique:
1) soit P l'énoncé qui dit "mon contraire est prouvable" (et non pas comme au dessus, mon contraire est une conséquence prouvable de W)
2.1) Si P, alors il existe un énoncé prouvable et faux (et dans la plupart des systèmes, la prouvabilité de nonP étant prouvable par simple constat, on a aussi une preuve de P et donc la théorie est contradictoire)
2.2) Si nonP, alors on a un énoncé qui est vrai sans être prouvable (l'énoncé nonP)
Exemple banal (et pas des meilleurs, mais c'est déjà ça) en analyse non standard d'un énoncé faux et prouvable: prendre un entier n non standard: l'énoncé "n est standard" est prouvable (avec une preuve de longueur non standard
D'une certaine manière on pourrait dire que mon 6 est "possibilité d'exprimer et certifier que tout ce qui est prouvable est vrai à l'intérieur d'une même théorie". Mais bon vu que je faisais une liste "d'énoncés désirables, mais "faux"" je n'allais prendre tant de précautions oratoires
J'ai raconté comment à mon sens cet énoncé n'est pas "attirant". Mais comme j'ai dit que je signlais tous les énoncés qu'au moins un mathématicien pro avait un jour affirmé, force m'est de constater que celui-ci tient presque le record (j'ai aussi de dire pourquoi à mon post d'avant), donc merci à db!
sieur Christophe,
(96) depuis un début de lecture de J.Y Girard Le point aveugle Tome 1 : vers la perfection, je ne sais plus mais alors plus du tout ce qu'est la vérité.
Bref (c'est pas la première fois que la question a été posée) : quelle est la définition formelle de la vérité d'un énoncé ?
Tu vas peut-être me dire que ça n'existe pas et que ça c'est prouvé ? Et là j'ajouterais : ah ouais ....
S
J'ai l'impression que tu veux faire du sensationnel. Quels sont les sens des mots "vrai" et "prouvable" dans ta phrase?
Car honnêtement je n'ai que faire d'une preuve "non standarde" !
Est-ce qu'il existe une "vraie" preuve *écrite* d'un énoncé faux. Par ex dans mes souvenirs lointains,dans le théorème de Gödel pour PA les formules sont numérotées (constructivement) et on exhibe explicitement (non on donne la méthode de construction mais c'est la même chose) un entier n(un vrai entier comme 1699997113 par ex)
tel que F_n entraîne non(Dém F_n).
a-t on un entier m tq F_m est fausse et dém(F_m) au sens précédent? exemples?
peut-on démontre que PA est non consistante (ex: F_88874132311 est fausse, donc F_88874132311->(0=1) , on construit une preuve P de F_88874132311 et voilà)
si peano ou zf etaient connus comme contradictoires ca se saurait.
ce que je propose comme enonce 6 est, dit autrement, "on peut etre sur de tout ce qui est prouvable".
cet enonce est prouvablement faux voire preuve dans ma rep a db.
pour te repondre non sur des exemples* qui sont sans importance mais en terme recursifs, voire post suivant
* l exemple que j ai donne peut etre ameliore en une situation ou l enonce contient des parametres non std mais ou le systeme de preuve est assez embouteille pr donner une preuve std
le theoreme de Godel dit que tte theorie (rec en) qui est consistante ne prouve pas sa consistance. C est cette version pudique genee pr pas dire un peu sotte qui est mediatisee
Il dit en fait que toute theorie qui prouve sa consistance est contradictoire
C est cette version qui est la plus raisonnable a cause du theoreme du point fixe de la calculabilite, du lambda calcul, etc etc qui sont toutes des versions du meme principe.
En effet demande toi parmi toutes les theories (rec en) qui prouve leur propre consistance s il n y en aurait pas certaines que tu aurais envie de prendre comme systeme d axiomes
Symboles $\neg \, P \, N \, ( \, )$
Expressions toute chaîne finie non vide constitué de ces cinq symboles
Définitions
$\bullet$ Une expression $X$ est dite imprimable si la machine peut l'imprimer.
$\bullet$ La norme de $X$ est l'expression $X(X)$ .
Informellement $P$ veut dire imprimable, $N$ veut dire norme et $\neg$ veut dire non.
Vérité :
$\bullet$ $P(X)$ est vrai si et seulement si $X$ est imprimable.
$\bullet$ $PN(X)$ est vrai si et seulement si la norme de $X$ est imprimable.
$\bullet$ $\neg P(X)$ est vrai si et seulement si $X$ n'est pas imprimable.
$\bullet$ $\neg PN(X)$ est vrai si et seulement si la norme de $X$ n'est pas imprimable.
Axiome : la machine est absolument sûre en ceci que tous les énoncés imprimables sont vrais.
Ainsi par exemple, si la machine vient à imprimer $P(X)$, alors $X$ est imprimable et il sera imprimé tôt ou tard.
Ce keutru :
-> contre (9) : la machine ne peut pas imprimer tout ce qui est vrai.
-> ne contre pas (6). (il me semble)
S
c est celle obtenue par T:=Peano + le schema d axiomes "si dem(T,P) alors P", quand P parcourt tous les enonces (du langage de l arithmetique par exemple)
definie en utilisant en utilisant le principe du point fixe canonique rappele au post precedent
Maintenant une objection erronee serait d accuser le principe du pt fixe ce qui serait facile a un lecteur amateur en logique.
Mais de tte facon peu importe on entrerait ds la philo. Le fait est que Godel a demontre que T est contradictoire.
Tu peux donc lire mon enonce 6 comme comme disant 6bis:="T est consistante" ou comme "tous les enonces d arithmetique demontres par T sont vrais", comme ca tu as une version formelle de ce "6".
Mais ma rep a db est plus saine et moins reductrice je pense parce que bien des gens ne maitrisent pas bien la notion de point fixe et donc seraient pret a l accuser (alors qu il ne s agit que de pointeurs) a tort
L enonce 6bis est tout a fait faux et tout a fait "attirant"
"P n est pas demontrable" 6ter
ou P est la phrase qui dit "je suis demontrable"
on "voudrait" ou on croirait que 6ter soit vrai "helas" ce nest pas le cas
Mettons qu'il existe une théorie récursive T contenant PA, et consistante. On construit T' en ajoutant à T tous les énoncés ayant une ("vraie") preuve dans T (je sais pas si c'est encore récursif mais ce n'est pas grave). Alors T et T' démontrent les mêmes théorèmes donc T' est consistante elle aussi.
"Tout ce qui est prouvable est vrai" est faux. (admettons)
Donc la négation de "Tout ce qui est prouvable est vrai" est vraie.
Donc "Il existe un keutru prouvable mais faux" est vrai.
Je suppose que c'est trop indiscret de savoir quel est ce keutru ... ?
Merci, une fois de plus de m'aider à me sentir comme un élève qui déclare de bonne foi : "j'comprends rien".
Ceci dit je suis surpris du peu de réaction à ce 6)
S
En ce qui concerne la théorie T de ma réponse à foys, là c'est constructif: l'énoncé prouvé et faux est 0=1
11) tous les ordinaux sont dénombrables
J'en donne une preuve "bien connue" dans une théorie contradictoire (qui peut être un bon exercice pour Pierreg, et enjoliver son gout pour $\omega_1$):
soit, pour chaque ordinal dénombrable $u(a)\in \R\neq $ tous les $u(b)$ quand $b\in a$. (Construction par récurrence ordinale utilisant l'axiome du choix). Remarque: comme il ne peut y avoir de surjection de $\N$ sur $\R$, cette cosntruction est "possible".
Supposons que cette construction s'arrête à un ordinal $z$ qui est donc forcément non dénombrable.
Soit le jeu $G_r, r\in \Q$ suivant:
Alice joue un ordinal dénombrable $a_1$, puis Bob joue un ordinal dénombrable $a_2>a_1$, puis Alice joue $a_3>a_2$... etc. Alice gagne quand $u(sup_n a_n)>r$, sinon Bob gagne.
Soit $C:=$ l'ensemble des $r\in \Q$ tels que Alice a une stratégie gagnante pour $G_r$.
11.1) Montrer que $r\geq s$ et $r\in C$ => $s\in C$.
Soit $s:=sup (C)\in \R\cup \{+\infty\}$.
11.2) Montrer que $s\in \R$.
11.3) Supposons que Bob ait une stratégie gagnante pour tout $G_r$ quand $r>s$. Montrer que $s\notin C$.
11.4) Déduire de ce qui précède que Alice a une stratégie gagnante au jeu suivant:
Alice joue un ordinal dénombrable $a_1$, puis Bob joue un ordinal dénombrable $a_2>a_1$, puis Alice joue $a_3>a_2$... etc. Alice gagne quand $u(sup_n a_n)=s$, sinon Bob gagne.
11.5) Il s'enquit qu'il existe un ordinal dénombrable $a$ tel que $u(a)=s$. En déduire une contradiction en pensant à une manière de jouer pour Bob dans le jeu précédent où il joue dès le départ un $a_2>a$.
Morale de l'histoire, la consrtuction de u ne se termine jamais et tous les ordinaux sont dénombrables. (Et au passage $\R$ n'existe jamais complètement et est tout autant insaisissable
Si Gottfried dit qu'il aurait aimé que l'adhérence de l'ouvert qu'il signale soit toujours le fermé qu'il signale, no souci, on donne un numéro (12 par exemple, je crois qu'on en est à 12) à l'énoncé.
Mais l'aurait-il sincèrement aimé? (Je ne pense pas que confondre par inadvertance $A\subseteq B$ et $A=B$ soit le reflet d'un désir, si?)
Tiens, je pense à un truc qui va peut-être te plaire. Soit A un anneau et $f$ une forme bilinéaire de $A^n$ dans $A$. Soient $n$ éléments de $A^n$ que l'on note $(u_1,..,u_n)$. On suppose cette famille liée, c'est à dire qu'il existe $a_1,..,a_n$ des élements de $A$, non tous nuls tels que $\sum a_iu_i=0_{A^n}$.
(En fait, je pense à ça à cause de la jolie démonstration que tu as mise dans "arithmétique élémentaire", et je me demandais si elle ne pouvait pas s'étendre à des anneaux quelconques).
Existe-il forcément un vecteur non nul $w\in A^n$ tel que $f(u_i,w)=0$ pour tout i?
C'est un thème que j'ai regardé sous plusieurs angles dans le passé et qui m'ont donné des sueurs. Si c'est vrai bin.. tant mieux et si c'est faux, je pense que ça pourra être qualifié d'énoncé attirant
ENONCE de GOTTFRIED: numéro12
Un énoncé faux mais attirant en topologie: soit $E$ un espace topologique et $f_j:E\to\R$, $1\leq j \leq N$, des fonctions continues. Soit $U$ l'ouvert $\{\forall j,\; f_j>0\}$. \\\centerline{L'adhérence de $\color{blue} U$ est le fermé $\color{blue} F = \{\forall j\in\{1,\dotsc,N\},\; f_j\geq 0\}$}
Formellement, l'énoncé de Zo, c'est:
Si T est un ensemble FINI*** inclus dans $\R[X]$ tel que $\forall P\in T\exists a\in \R^*: aP'\in T$ alors l'adhérence de l'ensemble A des $x\in \R$ tels que $\forall P\in T: P(x)>0$ est l'ensemble des $x\in \R$ tels que $\forall P\in T: P(x)\geq 0$ dès lors que A est non vide***. C'est ça?
Autrement dit, pour tout $x\in \R$ tel que $\forall P\in T: P(x)\geq 0$ il existe des $y\in\ R$ arbitrairment proches de $x$ tels que $\forall P\in T: P(y)>0$?
(lol celui-ci il est vrai, donc on peut pas le qualifier de "faux mais attirant", mais on peut, même à mon gout, le qualifier de attirant). Donc Zo a raison, "à la limite" (informelle), l'énoncé de Gottfried devient vrai.
*** edit: voir ci-dessous posts de Zo
Tout ensemble de la forme $\{ x\in\R\mid P_i(x)\; ?_i \; 0, \ i=1,\ldots,m\}$ où $?_i\in\{<,>,=\}$ est connexe (ou vide) et, s'il est non vide, son adhérence s'obtient en relâchant les inégalités strictes.
En plusieurs variables, il y a quelque chose d'analogue : une famille finie de polynômes peut toujours s'étendre en une famille possédant la propriété ci-dessus.
Ne reste donc qu'à chercher un contre-exemple éventuel lorsqu'il y a des diviseurs de zéro.
Edit: pardon, dans mes notations initiales que j'ai maintenant améliorées j'utilisais des $a_j$ au lieu des meilleurs $u_j$ de Christophe pour des éléments de $A^n$.
@Gottfried, tu postes plus vite que Lucky Luke loool, bon je lis ta démo...
Tout à fait et ça ne risque pas d'être très facile
Et ouiiii, je suis content que tu sois le énième à faire ce douloureux parcours initiatique alors que tu es infiniment plus au courant que moi de tout l'académisme algébrique j'imagine.
Comme je le disais dans le passé, les résultats suivants semblent peu connus. (En fait hier soir dans un autre fil, j'ai mis un lien vers des liens qui t'auraient informé directement de la réponse):
DANS UN ANNEAU COMMUTATIF QUELCONQUE (donc pas forcément intégre):
1) toute matrice qui a plus de lignes que de colonnes a ses lignes liées (il en existe une preuve de 3 lignes sans background que j'ai mis lgtps à trouver)
2) toute matrice qui a ses lignes liées a ses colonnes liées: ça répond a ta question avec la forme canonique (pour une forme quelconque je ne sais pas, je pense que oui ça devrait aussi y répondre)
3) toute matrice injective (vue comme a.l. de A^n dans lui -même contient dans son image un élément de la forme (r,0,...,0) avec r régulier (je n'ai jamais pu prouver ça de manière pure et sans déterminant, ni formes alternées)
Peut-être pourras-tu te servir de (3) pour prouver le truc?
(Remarque: les implications (3)=>(2)=>(1) sont triviales)
Ce n'est pas par sadisme que je ne l'ai pas rappelé mais par "sondage": je voulais voir si le spécialiste de maths que tu es arrivé récemment sur le forum échappait à la règle de ne pas connaitre par coeur ces résultats, qui mériteraient à mon sens d'être bcp plus diffusés.