Ce fil est pour étoffer une petite enquète sur des généralisations fausses du fini à l'infini (ou ce genre) et voir si des gens ont culturellement des infos sur des avancées récentes, je cite quelques énoncés, mais j'espère qu'il y aura d'autres énoncés qui ne viennent pas tout de suite à l'idée postés par d'autres. Tous ces énoncés sont faux et deviennent souvent vrais, une fois rajoutées une ou plusieurs conditions

1) Tout arbre ayant des branches finies arbitrairement longues a une branche infinie

2) Tout ultrafiltre est principal

3) Tout ordre total ayant un assez gros cardinal contient un ensemble non vide sans minimum

4) Tout graphe qui ne peut être colorié avec un n couleurs contient une (n+1)-clique comme sous-graphe

5) Pour toute suite d'applications $f_n$ de E dans E, il existe une suite u telle que pour tout entier n, $u(n)=f_n(u(n+1))$

6) tout ce qui est prouvable est vrai

7) toute application admet un point fixe

8) tout espace compact et séparé a un petit cardinal

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Je commente "l'état" de l'art bien connu concernant ces énoncés.

(1) un arbre est la donnée d'un ensemble E et d'un ensemble T de suites finies à termes dans E. Dire qu'il a des branches de longueur arbitrairement grandes, c'est dire que pour tout n, il existe p>n, il existe une suite de longueur p qui est dans T. une branche infinie de T c'est une suite u telle que pour tout entier n, il existe p>n tel que $(u(1),...,u(p))\in T$

(2) avec l'axiome du choix, il y a beaucoup beaucoup d'ultrafiltres non principaux (ils forment même un espace compact assez violent). En l'absence de tout autre axiome, ZF tolère l'axiome (2) à ma connaissance (il fait donc un peu exception à la règle de "fausseté annoncée".

(3) En dehors des spécialistes, beaucoup de gens perçoivent que plus la taille augmente plus il est "difficile" de mettre un bon ordre sur un ensemble. Pourtant les ordinaux (définis dans ZF seul) sont un contre-exemple célèbre et épuré.

(4) un très bon mathématicien non spécialiste de théorie des graphes m'a dit une fois au détour d'un couloir qu'il venait d'envoyer un article où il s'était servi de cet énoncé qu'il avait admis, le pensant "évident" et a été "emmerdé" quand je l'ai informé que c'était faux. I m'a dit "merde, c'est con je n'y avais pas assez réfléchi. A remarquer qu'une nuance de l'énoncé4 est une conjecture très célèbre et la plus importante de théorie des graphes: la conjecture de Hadwiger (je l'adore).

(5) Ah, si (5) était vrai qu'est-ce qu'on pourrait s'amuser en faisant de constructions par récurrence à l'envers!!! Hélas, par exemple, même en essayant de ne pas tricher, elle semble résolument fausse (par exemple même en prenant $\Z$ ou etc, au lieu de $\N$)

(6) C'est peut-être un des "plus gros scandale" non médiatisé. Bcp de gens "fonctionnent" en croyant à cet énoncé alors qu'on sait depuis l'avènement du Godélisme qu'il est irrémédiablement faux: toute théorie "honnête" qui admet cet axiome "honnêtement" est contradictoire (autrement dit il est "prouvablement" faux)

(7) sans commentaire. Même quand on essaie de ne pas tricher, il y a des contre-exemples mathématiques. Ne pas tricher voulant dire essayer de ne pas "éliminer" le côté pratique "physique", etc. Je mettrai un lien

(8) bin c'est faux via Tychonoff, mais "tentant" aussi

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Connaissez-vous d'autres énoncés de ce jus-là. "Ile de la tentation" des énoncés en quelque sorte? tous ces énoncés ont en commun que pour chacun d'eux, au moins un mathématicien spécialisé dans autre chose me l'a conjecturé au moins une fois dans des circonstances superficielles et sans réfléchir (ce n'était pas des erreurs de "frappe" mentale, mais plutôt des expressions de "tentation")

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Edité 2 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par christophe chalons.

oui je comprends ton 6 à toi, mais ce n'était pas du tout ce que je voulais dire, j'ai bien dit ce que je voulais dire.

"tout ce qui est vrai est prouvable", je ne le classerais pas (personnellement) dans les énoncés "attirants". C'est une erreur commune faite par certains non logiciens qui relèvent plutôt d'une négligence de vocabulaire (ils s'en fichent de ce que veut dire "vrai" (ce qui peut d'ailleurs se comprendre, vu que ça n'a pas de définition non relative à un modèle) et ont un caprice en "décidant" d'appeler "vrai" ce que les autres appellent prouvable). Mais je laisse disons ce caprice" de ces "non logiciens" de côté.

Je ne parlais non plus bien sûr pas du théorème de correction (qui est un théorème et non un énoncé faux), mais du fait que tout ajout "honnête" au second ordre de l'énoncé $W:=\forall X: (D(X)$ => $X)$ à une théorie (du second ordre) qui par ailleurs est suffisamment riche pour parler de bcp de choses déclenche une contradiction (quand on donne un sens même minimal de "X démontrable" à la forme D(X)).

Tu as raison de mentionner que la découverte habituellement rangée sous ce que j'appelle le "godélisme" (je trouve ça joli phonétiquement d'ailleurs) est plutôt la version $\exists X: (X$ et $non(D(X))$. Mais je n'aime pas cette version "modeste" qui ne rend pas bien compte de l'uniformité de l'argument godélien:

1) soit P un énoncé prouvablement équivalent à "il est prouvable que W=>nonP" (le godélisme rend prioritaire les théories qui construisent facilement de tels P)

2) Supposons P. Alors il est prouvable que W=>nonP
3) donc si W alors W=>non P
4) donc si W alors nonP
5) donc nonW
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6) on vient de prouver W=>nonP
7) donc P
8) donc... on recommence... nonW

Rappel de l'argument godélien canal historique:

1) soit P l'énoncé qui dit "mon contraire est prouvable" (et non pas comme au dessus, mon contraire est une conséquence prouvable de W)
2.1) Si P, alors il existe un énoncé prouvable et faux (et dans la plupart des systèmes, la prouvabilité de nonP étant prouvable par simple constat, on a aussi une preuve de P et donc la théorie est contradictoire)
2.2) Si nonP, alors on a un énoncé qui est vrai sans être prouvable (l'énoncé nonP)

Exemple banal (et pas des meilleurs, mais c'est déjà ça) en analyse non standard d'un énoncé faux et prouvable: prendre un entier n non standard: l'énoncé "n est standard" est prouvable (avec une preuve de longueur non standard , mais on peut trafiquer les choses de manière à même enlever ce dernier inesthétisme)

D'une certaine manière on pourrait dire que mon 6 est "possibilité d'exprimer et certifier que tout ce qui est prouvable est vrai à l'intérieur d'une même théorie". Mais bon vu que je faisais une liste "d'énoncés désirables, mais "faux"" je n'allais prendre tant de précautions oratoires

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Citation
Les théorèmes d'incomplétude de Gödel - Chapitre 1 . Raymond Smullyan

Considérons une machine qui imprime diverses expressions constituées des symboles suivants :
Symboles $\neg \, P \, N \, ( \, )$
Expressions toute chaîne finie non vide constitué de ces cinq symboles
Définitions
$\bullet$ Une expression $X$ est dite imprimable si la machine peut l'imprimer.
$\bullet$ La norme de $X$ est l'expression $X(X)$ .

Informellement $P$ veut dire imprimable, $N$ veut dire norme et $\neg$ veut dire non.
Vérité :
$\bullet$ $P(X)$ est vrai si et seulement si $X$ est imprimable.
$\bullet$ $PN(X)$ est vrai si et seulement si la norme de $X$ est imprimable.
$\bullet$ $\neg P(X)$ est vrai si et seulement si $X$ n'est pas imprimable.
$\bullet$ $\neg PN(X)$ est vrai si et seulement si la norme de $X$ n'est pas imprimable.

Axiome : la machine est absolument sûre en ceci que tous les énoncés imprimables sont vrais.

Ainsi par exemple, si la machine vient à imprimer $P(X)$, alors $X$ est imprimable et il sera imprimé tôt ou tard.

Ce keutru :
-> contre (9) : la machine ne peut pas imprimer tout ce qui est vrai.
-> ne contre pas (6). (il me semble)

S



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