système d'équations différentielles linéaires
dans Les-mathématiques
Bonjour, svp pouvez vous m'aider à résoudre cet exercice
On s'intéresse à l'équation différentielle x' = f(x) dans Rn définie par le champ de vecteurs f(x) = Ag(AT x),
où A est une matrice de Mn(R) et g : Rn ---> Rn est une application C1 telle que g(0) = 0 et Dg(x) est antisymétrique, quelque soit x € Rn. On notera Ot le flot de x' = f(x).
1. Calculer Ot(0).
2. Calculer la différentielle Df(x) et montrer qu'elle est antisymétrique.
3. Soit R(t, s) la résolvante de l'équation linéarisée autour d'une solution x(.) de l'équation différentielle. Montrer que ||R(t, s)|| = 1.
4. En déduire que ||Ot(x)|| =< ||x|| pour tout x € Rn
On s'intéresse à l'équation différentielle x' = f(x) dans Rn définie par le champ de vecteurs f(x) = Ag(AT x),
où A est une matrice de Mn(R) et g : Rn ---> Rn est une application C1 telle que g(0) = 0 et Dg(x) est antisymétrique, quelque soit x € Rn. On notera Ot le flot de x' = f(x).
1. Calculer Ot(0).
2. Calculer la différentielle Df(x) et montrer qu'elle est antisymétrique.
3. Soit R(t, s) la résolvante de l'équation linéarisée autour d'une solution x(.) de l'équation différentielle. Montrer que ||R(t, s)|| = 1.
4. En déduire que ||Ot(x)|| =< ||x|| pour tout x € Rn
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.