Irrationalité , distance et espace complet.
dans Les-mathématiques
Bonjour à toutes et à tous,
Je suis tombé, en parcourant quelques pages de ce forum, sur un exercice (sur un topic traitant de l'ENS cachan) et j'ai voulu m'y confronter mais je reste sans idée pour la dernière question
voilà l'exercice :
\begin{enumerate}
\item Ecrire le développement en fraction continue de $\sqrt{2}$. On remarquera que $\dfrac{1} {1+\sqrt{2}} = -1+\sqrt{2}$
\item Soit $d(x,y)=\exp(-k)$ où $k$ est le plus grand entier tel que pour tout $i < k$ on ait $n_{i}=n'_{i}$, où $n_{i}$ (resp. $n'_{i}$) représente les coefficients du développement en fraction continue de $x$ (resp.$y$).
Montrer que $d$ est une distance sur $\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$. Montrer que $d$ induit la même topologique que la distance euclidienne.
\item $\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$ muni de $d$ est-il complet ? En déduire que c'est un espace de Baire.
\end{enumerate}
Alors pour la première question aucun soucis . Ensuite pour montrer que c'est une distance , je m'en suis sorti mais la suite ... "d induit la même distance que la distance euclidienne." et la question 3 je ne vois pas vraiment ...
Je suis preneur de toutes pistes , idées ou réponses
Merci d'avances
Bonne soirée
Je suis tombé, en parcourant quelques pages de ce forum, sur un exercice (sur un topic traitant de l'ENS cachan) et j'ai voulu m'y confronter mais je reste sans idée pour la dernière question
voilà l'exercice :
\begin{enumerate}
\item Ecrire le développement en fraction continue de $\sqrt{2}$. On remarquera que $\dfrac{1} {1+\sqrt{2}} = -1+\sqrt{2}$
\item Soit $d(x,y)=\exp(-k)$ où $k$ est le plus grand entier tel que pour tout $i < k$ on ait $n_{i}=n'_{i}$, où $n_{i}$ (resp. $n'_{i}$) représente les coefficients du développement en fraction continue de $x$ (resp.$y$).
Montrer que $d$ est une distance sur $\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$. Montrer que $d$ induit la même topologique que la distance euclidienne.
\item $\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$ muni de $d$ est-il complet ? En déduire que c'est un espace de Baire.
\end{enumerate}
Alors pour la première question aucun soucis . Ensuite pour montrer que c'est une distance , je m'en suis sorti mais la suite ... "d induit la même distance que la distance euclidienne." et la question 3 je ne vois pas vraiment ...
Je suis preneur de toutes pistes , idées ou réponses
Merci d'avances
Bonne soirée
Réponses
-
bonsoir déjà je peux te dire simplement pour la 3) qu'un espace complet est un espace de Baire : c'est le théorème de Baire pour les espaces métriques complets.
Pour la 2) tu dois montrer qu'une boule ouverte pour d est ouverte pour la distance euclidienne et réciproquement. -
c est un exo d escroc
comme dirajt Zo.
en fait, essentiellement il y a un cheminement tres progressif et.tres.doux et facile qui permet apres une cuisson toute en douceur et toute perigourdine de realiser une bonne fois pour toute que IR - IQ est homeomorphe a IN^IN muni de la topologie discrete sur IN.
Bon mais ce serait.contre nature et juste reserve a un concours de muscles de demander a des gens de produire une redaction en 5mn de ca. Cest plutot un plat qui doit se manger par petites.bouchees et bien se machees pour profiter de toutes ses senteurs
le.cote.dvpmt en frac continues peut suggerer ca mais bon c est vraiment le cote IN^IN qui compte et.non «le nombre que ca donne»Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Sur ce Bonne appétit ! et lèche-toi bien les babines babine
-
Merci pour ces réponses , je vais laisser mijoter encore un peu !
-
Pour la question 2, j'imagine qu'il faut trouver deux constantes positives a et b tels que:
a.distance_euclidienne(x,y)<=d(x,y)<=b.distance_euclidienne(x,y) -
Bonne nuit,
Condition suffisante (probablement pas réalisée) mais non nécessaire.
Bien cordialement. -
J'étais entrain de me dire cette nuit : si l'on considère la norme induite par cette distance , et que l'on montre que les éléments de $\mathbb{Q}$ sont envoyés sur $0$ par cette norme , alors comme la topologie induite par d est la même que celle induite par la distance euclidienne on peut obtenir le résultat (enfin je crois... 8-) )
Je m'explique : $\mathbb{R}$ muni de la norme euclidienne est complet , donc muni de la norme induite par d il reste complet. Or cette norme ne " s'occupe " que des éléments de $\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$ donc cela revient à dire que $\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$ est complet .
Bon c'est assez vague , disons que j'ai du mal à expliquer mon idée ...
Merci pour vos réponses ,
Bonne journée ensoleillée B-) -
Bon un pti coup de wifi avt de reprendre la route, je te donne des indices. Comme je te l'ai dit hier soir avec d'aller manger une fricassée de cèpes , l'angle de vue consiste à remarquer que $\R-\Q$ et $E:=\Z \times (\N^\N)$ sont "homéomorphes" quand on munit $\R-\Q$ de la topologie usuelle (induite par l'usuelle de $\R$) et $E$ de la produit des discrêtes.
Pourquoi? Et bien parce que quand un irrationnel $x$ et un irrationnel $y$ sont superproches l'un de l'autre, les débuts de leur développements respectifs en fractions continues vont être égaux et réciproquement.
Par exemple si tu prends un irrationnel a compris entre 3 et 4, et bien il est de la forme $3 + 1/x$ avec $x>1$ et tu recommences avec $x$. Si maintenant un autre irrationnel $b$ très très proche de $a$, il sera donc forcément compris entre 3 et 4, et de la forme $3+1/y$ et de plus le $y$ sera lui-même très très proche de $x$. Il ne te reste qu'à rédiger ça proprement.
C'est peut-être l'autre sens qui est moins trivial parce que étant donné $p\in \Z$ et $u\in (\N^{*}) ^\N$, il faut justifier l'existence d'un irrationnel $a$ tel que $a$ est de la forme $p+x$, et $1/x$ est de la forme $u(1) + 1/x_1$ et $x_1$ est de la forme $u(2) + 1/x_2$, etc, etc, mais ça, c'est toute l'histoire spécifique du dvpt en fractions continues (bien que je crois que ça puisse se voir comme un exo des anciennes terminales d'il y a 20-30ans). Là encore, c'est plus le fondement, l'existence que la continuité qui nécessiteront du soin, ie précisément dans ton exo, c'est la partie passée sous silence puisqu'il est admis la partie fractions continues comme si elle allait de soi
Sinon la partie être de Baire est évidente dès que tu admets que tu es entrain de regarder $\N^\N$, puisque lui, il est "évidemment" de Baire (tu es d'accord avec ce dernier point).Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
J'ai l'impression que:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Fraction_continue#Encadrement_et_convergence
pourrait aider mais je n'ai pas le temps d'approfondir la question.
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Bonjour!
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