mathématique appliquée à la finance

Bonjour Nina 84


Comment s'initier à la Mathématique appliquée à la Finance ? faut d'abord étudier la Finance , peux tu m'indiquer un livre ou le chemin à suivre ? , je vise la culture générale .


Merci

Anglais ?


Merci

Bonjour Nina84,

Il y a une définition formelle d'une stratégie admissible (progressivement mesurable et stochastiquement intégrable) mais je vais préfère l'expliquer en le reliant à des termes économiques pour comprendre dans le contexte des marchés financiers.
Une stratégie admissible a deux définitions qui sont équivalentes :
0. Une stratégie $\theta$ est autofinancée si le portefeuille $\theta$ réorganise ses ressources internes sans faire appel à des ressources extérieures et sans faire de consommation de richesse.
En effet, puisque la variation de la valeur du porte-feuille dépend de la variation des prix des actifs qui composent ce porte-feuille, il est normal d'investir la richesse dans les actifs qui consommeront le moins de ressources et augmenteront la richesse.
1. Une stratégie $\theta$ est dite admissible si elle est autofinancée et telle que, à toute date $n \in \{0, ..., N\}$,
la valeur du portefeuille $V_n(\theta)$ est positive ou nulle.
2. Une stratégie $\theta$ admissible lorsque la richesse $V_n(\theta)*S/1+r$ est bornée presque sûrement.
$S$ est le vecteur prix des actifs à une date donnée, $r$ est le taux sans risque
$S/1+r$ est la valeur actualisée du prix d'un actif.
En effet, si $\theta$ est admissible, elle peut être nulle. Mais elle peut être positive. Comme elle est autofinancée, elle ne peut consommera pas plus de ressources internes qu'externes et ne fera pas diminuer la richesse en deçà d'un certain seuil déterminée par les ressources initiales.
Le fait que $V_n(\theta)$ soit bornée presque sûrement signifie qu'a priori elle est bornée à la plupart des dates $n$ observées mais que par malchance - on parle de choc du marché -, la richesse $V_n(\theta)*S/1+r$ peut avoir un comportement aléatoire et prendre des valeurs négatives sans limites de pertes (théorie des valeurs extrêmes).

Evidemment, en pratique, on ajoute des conditions fortes à la définition de stratégie admissible comme par exemple :
* valeur de portefeuille nulle à l'instant $n=0$
* valeur positive presque sûrement.
Dans ce cas, on parle de stratégie d'arbitrage. Il est possible de contrôler un tant soit peu les pertes et d'augmenter la richesse (ou valoriser le portefeuille) sans augmenter la consommation de ressources.

Les processus admissibles sont étudiés dans le cadre du contrôle stochastique.
Ils interviennent dans les modèles de diffusion (sauts de prix d'options par exemple) et d'autres.
Un contrôle est un type particulier de système dynamique : en gros, on y ajouter des variables de contrôle.
Dans le cadre du contrôle optimal, les variables de contrôle permettent d'étudier l'optimalité du contrôle.
Un contrôle admissible est un processus stochastique qui est continu à gauche (i.e. si toute trajectoire du processus est continue à gauche) et adapté à la filtration $F_t$ (i.e. si à tout instant t, le processus est mesurable).
En ajoutant des conditions à la définition des processus admissibles, on peut construire des martingales (i.e. la valeur espérée est la même que celle observée à une date t).

Exemple en finance de marché :
Un investisseur achète une option qui est ajouté à son portefeuille d'actifs.
La valeur de l'option peut être modélisée par un contrôle admissible si à chaque mouvement de prix, il n'y a pas de saut observé et que le mouvement de prix ne peut s'inverser l'instant d'après (hausse puis baisse de la même amplitude : processus continu à gauche).
D'autre part, la valeur de l'option doit être observable à chaque mouvement de prix, c'est-à-dire que la valeur de prix peut être observée à chaque instant indépendamment du mouvement de prix d'autres actifs (par exemple le sous-jacent : une action, dans le cas d'options call/put). L'information obtenue sur l'option ne dépend théoriquement pas de l'information sur les autres actifs.
Cela suppose qu'il y a très peu de voire pas de corrélation entre la valeur de l'option suivie avec le reste du marché - ce qui est invraisemblable mais théoriquement on peut faire ce qu'on appelle du delta hedging, c'est-à-dire se couvrir des variations de prix du sous-jacent. Pour ce faire, il faut soit que le sous-jacent et le dérivé évoluent naturellement avec la même amplitude - ce qui est rare et ne dure pas -, ou alors il faut avoir une stratégie de trading qui intègre des variables de contrôle pertinentes (comme la sensibilité du produit derivé à certains types d'évènements de marché bien précis).

Voilà, j'espère que c'est plus clair maintenant