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les questions bêtes de thibault

Envoyé par thibault 
Re: les questions bêtes de thibault
l’an passé
avatar
Citation
thibaud :
car en mathématiques il me semble qu'on ne manipule que des propositions vraies?

Où as-tu lu cela ? Si l'on ne manipulait que des propositions vraies on n'irait pas très loin car, a priori, tu ignore la véracité d'une proposition et donc tu ne pourrais manipuler celle-ci :D.

Si tu te poses ce genre de question de logique, il faudrait que tu regardes les premiers chapitres consacrés aux langage de n'importe quel ouvrage de logique (Cori et Lascar ou Krivine) pour n'en citer que des assez anciens.

Bruno
Re: les questions bêtes de thibault
l’an passé
Bruno
Effectivement j'ai parlé trop vite. (on manipule des propositions fausses dans le raisonnement par l'absurde).
Mais pour être plus précis, peut-on dire qu'on ne manipule en mathématiques que des propositions cohérentes et incohérentes ?
Siméon
Re: les questions bêtes de thibault
l’an passé
Considérons l'expression populaire « il n'y a pas de fumée sans feu ». L'implication sous-jacente est $\mathrm{fumée} \implies \mathrm{feu}$ et pour autant, c'est bien le feu qui est la cause de la fumée.

De façon plus générale, une proposition $A\implies B$ ou sa contraposée $\mathrm{non}\, B \implies \mathrm{non}\, A$ étant équivalentes, il me semble utopique de vouloir associer à une implication quelque notion de causalité ou de temporalité que ce soit.
Re: les questions bêtes de thibault
l’an passé
Citation
Thibault
Faut-il donc distinguer la notion de conséquence au sens courant de cette notion que définit le symbole $ \implies $ ?
Ben oui !! le symbole logique $ \implies $ a une signification précise et technique.

Citation

Faut-il arrêter d'interpréter automatiquement ce symbole dans le sens de "Si ... alors ... " ?
Tout dépend du sens que tu mets dans "si ... alors ...". Si ce n'est pas le sens logique, utilisé en maths, il faut éviter de confondre.

Citation

Existe-t-il un symbole logique que l'on peut utiliser sans trop faire d'abus pour désigner "A produit B" (B est une conséquence de A), et "A est une clause de B"?
Non, puisqu'il ne s'agit plus de logique. Dans les sens que tu as utilisés.

Citation

Et puis il est abusif car il n'est pas précisé dans quel contexte on a 2=3
je ne connais aucun contexte qui rend 2=3 vrai. Donc le contexte n'a pas d'importance. Et tu as très bien compris, donc évite les arguments purement dilatoires.

A noter : Il est impossible d'avoir simultanément "2=3" vrai et "la Lune est en fromage blanc" faux, donc l'implication est vraie.

Cordialement.
thibaulte
Re: les questions bêtes de thibault
l’an passé
Ok je vous remercie pour vos éclairages, c'est bien clair maintenant.

(gerard, sur le contre exemple je voulais signifier que d'un point de vue logique la construction des naturels est arbitraire (enfin je crois?) mais c'est un détail car ton exemple est largement parlant et c'est ce qu'on lui demande)
Re: les questions bêtes de thibault
l’an passé
A1
Le raisonnement par analyse synthèse est-il le raisonnement inverse du raisonnement par l'absurde?
Il me semble que dans le raisonnement par analyse-synthèse, on suppose une proposition vraie, et on vérifie qu'elle est cohérente.Dans le raisonnement par l'absurde, on suppose une proposition fausse, et on vérifie qu'elle est incohérente.

A2
Une condition suffisante est-elle nécessairement nécessaire? Dit autrement, deux conditions nécessaires (à un même résultat) sont elles nécessairement équivalentes ?
( B => A et C => A ) => ( B <=> C ) ?

A3
Quand je dis en français "Soit x". Comment cela s'écrit-il en mathématiques?

A4
Pouvez-vous me donner un exemple d'endomorphisme non bijectif?

A5
A et B sont des ensembles quelconques.
$ \phi(A) = \phi(B) \implies A = B \text{ssi} \ \ \phi \text{est injective?} $
ev
Re: les questions bêtes de thibault
l’an passé
avatar
Bonsoir thibault

A1 C'est quoi l'inverse d'un raisonnement ?

A2 FAUX : B : 1 = 2; A = C : 1 = 1

A3 "Soit x". s'écrit en mathématiques "Soit x". Ce qui est écrit en français a autant de sens en français qu'en maths.

A4. L'application nulle sur un espace qui n'est pas nul.

A5. Quantificateurs requis, merci.

bonne année,

e.v.
Re: les questions bêtes de thibault
l’an passé
Merci ev.

A1
Oublions la notion d'inverse ; ma remarque est-elle juste?
Dans le raisonnement par analyse-synthèse, on suppose une proposition vraie, et on vérifie qu'elle est cohérente. Dans le raisonnement par l'absurde, on suppose une proposition fausse, et on vérifie qu'elle est incohérente.

A3
Oui mais je souhaiterais connaître la traduction mathématiques quand même ! Quand je dis "Quelque-soit x" l'équivalent est mathématique est $ \forall x $ ; qu'en est-il de "Soit x"

A5
$ \forall A, B, \phi, \ \ \phi(A) = \phi(B) \implies A = B \text{ssi} \ \ \phi \text{est injective?} $
Re: les questions bêtes de thibault
l’an passé
Bonsoir Thibault.

1) Comme "A est vrai" est, en logique classique, la même chose que "non-A est faux", ta question n'est plus très pertinente. D'ailleurs, de nombreuses "démonstrations par l'absurde" sont en fait de preuves par contraposition : De "non-A implique faux" on tire "vrai implique A", puis "A est vrai".
3) "Soit x" n'est pas utile en maths tout seul. mais si tu veux traduire dans une formule "soit x un réel", tu écris bien entendu $x\in \mathbb R$, car ta phrase disait seulement "x est un réel" ("soit noté x un réel" signifie "dans la suite le symbole x est la notation d'un réel")
4) A=2, B=5, $\phi$ est la mesure du nombre de chiffres dans l'écriture d'un nombre en décimal. Je peux en déduire que $\phi$ "est injective" ? Il y a un problème évident : $\forall A$ n'a pas de signification. Il va falloir affiner ta proposition.

Cordialement.
Re: les questions bêtes de thibault
l’an passé
Merci gérard.


Q5bis
$ \forall A, B \in \mathfrak P(X)\ \ \phi : X \rightarrow X, \ \ \phi(A) = \phi(B) \implies A = B \text{ssi} \ \ \phi \text{est injective?} $

Q6
Dans un poly que j'ai sous la main, on parle des éléments de GL(X), les automorphismes linéaires. Un automorphisme linéaire n'est rien de plus qu'un automorphisme tout court?
Re: les questions bêtes de thibault
l’an passé
J'ai écrit une grosse bêtise. Je barre ! Ce qui reste me semble sain.
Pour 5bis, je ne crois pas au "ssi" A cause de l'application de $\{1,2,3\}$ dans lui-même qui associe 1 à 1, 2 et 3.
Mais n'importe comment, les quantificateurs sont mal placés. Ne voulais-tu pas dire :
Soit $X$ un ensemble et l'application $\phi : X \to X$ Alors :
$ \big (\forall A, B \in \mathfrak P(X)\ \ \phi(A) = \phi(B) \implies A = B \big ) \Leftrightarrow \ \ \phi \text{est injective} $
Et mon exemple montre que c'est faux.
Rajout : Fais-en la preuve...

6) La précision est utile quand la structure algébrique n'est pas donnée. Il peut y avoir plusieurs structures, et même sur un espace vectoriel, il y a des automorphismes de groupe.

Cordialement.
Re: les questions bêtes de thibault
l’an passé
Citation
gerard
Rajout : Fais-en la preuve...
Effectivement c'est clair dès lors qu'on revient aux définitions.

Je revient sur la notion de "soit x". Tu me dis qu'il suffit de mentionner l'ensemble auquel il appartient, c'est-à-dire X ici.
Qu'en est-il de "soit X", où X est un ensemble ? Comment écrire exclusivement mathématiquement

Citation

Soit $X$ un ensemble ; $\phi : X \to X$ ;
$ \big (\forall A, B \in \mathfrak P(X)\ \ \phi(A) = \phi(B) \implies A = B \big ) \Leftrightarrow \ \ \forall x_1, x_2 \in X, \phi(x_1)=\phi(x_2) \implies x_1=x_2 $

On ne va pas mettre une clef de sol quand même?
Re: les questions bêtes de thibault
l’an passé
Il y a deux sens à "Comment écrire exclusivement mathématiquement ":
1) Comment écrire à la façon d'un article de chercheur en mathématique, ou à la façon d'un corrigé de l'agreg.
2) Comment écrire en formulation purement symbolique, sans un mot de français ou d'une autre langue vernaculaire.

Pour le 1, pas de problème, on utilise le français (ou l'anglais international).
Pour le 2, personne ne le fait, mais tu peux lire les "Principia mathematica" de Bertrand Russel pour comprendre. Ou alors tu définis un symbole spécial pour dire que X est un ensemble, si $ \phi : X \to X$ ne le dit pas assez nettement.

Mais les ensembles étant les objets de base en maths, et même certaines constructions permettant de ne travailler qu'avec des ensembles, il peut sembler inutile de mathématiser "X est un ensemble".

Cordialement.
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