les questions bêtes de thibault

thibault · July 2012

bonjour, pour éviter d'ouvrir un nouveau sujet à chaque fois qu'une question me passe par la tête je préfère concentrer mes questions élémentaires (je ne suis qu'en licence) et divagations ici.

Pour commencer

(i) dans le contexte des probabilités quand doit on utiliser la notation p(A) plutôt que la notation IP(A) pour désigner la probabilité d'un évènement A (élémentaire ou composé) ?

(ii) existe-t-il une notion qui permette de définir une hiérarchie (au sens de l'appartenance) entre entre plusieurs ensembles imbriqués les uns dans les autres? Par exemple considérons

$a \in A$, $a \in B$ et $A \in \mathbb{A}$

pourrait-on dire que A et B sont des supérieurs hiérarchiques directs de a, que A et B sont de même rang hiérarchique (ils sont collègues), et que $\mathbb{A}$ est un supérieur hiérarchique de degré 2 de a ? ou quelque-chose de similaire.

à votre bon coeur ! merci !

Sylvain · July 2012

Salut Thibault,

ta deuxième question me fait penser à une réflexion similaire que j'avais eue il y a plusieurs années de cela : définir le niveau de $a$ relativement à $A$ comme le plus petit entier $k$ tel que $a\in_k A$, avec $x\in_1 E$ si et seulement $x\in E$ et $x\in_{m+l} E$ ssi il existe $F$ tel que $x\in_{m} F$ et $F\in_{l} E$.

Fin de partie · July 2012

C'est quoi IP(A)?

trantor · July 2012

C'est $\mathbb{P}(A)$ je pense.

samok · July 2012

C'est sans doute simplement un P majuscule en blackboard : $\mathbb{P}$. Au lycée la tendance actuelle est un $p$, pour pas faire peur et attirer l'attention que c'est une fonction.

Pour le point ii), regarde si la notion de transitivité avec les ordinaux cadre avec ta pensée. Sinon le mot imbrication me fait plutôt penser à l'inclusion.

S

Fin de partie · July 2012

Une probabilité est comme un poids, on ne confond pas un tas de carottes avec son poids.

PS:
Trantor: tu as trouvé la deuxième fondation?

gerard0 · July 2012

Bonsoir Thibault.

Pour ton 1, je dirais que je n'ai jamais employé ni l'un ni l'autre. Mais quasiment toujours P(A), rarement Pr(A) ou P{A}.
Pour le 2, je ne vois pas quel est l'intérêt de parler ainsi.

Cordialement.

christophe c · July 2012

Pour le (2), un ensemble bien fondé a un rang qui est un ordinal. Ca semble correspondre à ta demande.

1) A est bien fondé quand pour tout $X\subseteq tr(A): $ si $X\neq \emptyset$ alors $\exists x\in X: x\cap X=\emptyset $
2) un ordinal joue un peu le même rôle qu'un entier, mais on "continue de monter", on ne s'arrête pas au premier ordinal infini qui est $\N$.

Le rang d'un ensemble bien fondé $A$ est la borne sup des rangs de ses éléments (définition autoréférente permise par le fait que A est bien fondé)

edit: tr(A) est la cloture transitive de A, ie l'ensemble des $x$ tels qu'il existe une suite finie $u$ avec $x=u_1\in u_2\in ...\in u_n\in A$

bisam · July 2012

Fin de Partie a écrit:

Trantor: tu as trouvé la deuxième fondation?

Christophe Chalons a écrit:

[...] un ensemble bien fondé a un rang qui est un ordinal.

Il y a bel et bien un lien avec Asimov... (:P)

thibauld0 · November 2012

Vous pouvez me confirmer que parler de "condition nécessaire" (ou sine qua non) est une tautologie?

Siméon0 · November 2012

Dire que A est une condition nécessaire pour B, c'est une autre façon de dire que $ B \implies A $. Ça n'a rien de tautologique en général.

thibault · November 2012

Bonjour,

De la même manière que la langue française peut mélanger deux notions (par exemple le ou inclusif et le ou exclusif), j'ai le sentiment que le language logique mélange la notion de condition et de conséquence avec son signe $ \implies $ :

Dans l'expression $ A \implies B $, B est-il une condition (évènement antérieur) ou une conséquence (évènement postérieur) de A ?
Pourquoi la logique s'affranchit-t-elle de cette notion de successivité des évènements, c'est-à-dire de temps? Cela n'est-il pas source de sérieuses insuffisances dans certaines modélisations d'évènements? (il n'y a pas de temps à ma connaissance en mathématiques mais j'ai cru comprendre qu'il y en avait en informatique, physique, évidemment sciences humaines (donc en théorie des jeux, où la logique s'immisce?)

[Pourquoi ne pas continuer dans le fil qui t'est dédié ? AD]

Bonjour AD, je conçois ce fil comme une foire à questions idiotes, et le thème du temps logique me semblait mériter un fil indépendant, mais comme tu voudras...

thibault · November 2012

Une condition n'est-elle pas nécessaire par définition? A est une condition de B signifie tout autant $ B \implies A $ sauf erreur de ma part.

Autre question : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,793255 (temps logique)

Siméon0 · November 2012

Pourquoi ne consultes-tu pas un dictionnaire pour apprendre le sens du mot condition ? On en trouve de très bons en ligne, par exemple http://littre.reverso.net/dictionnaire-francais/definition/condition/14993 ou http://www.cnrtl.fr/definition/condition

thibault · November 2012

Merci Siméon.
Je conclus que stricto sensu, une "condition nécessaire" est une tautologie.

cf la première occurence du terme en français : 1154-73 par condicion que « clause, obligation dont dépend la validité ou la réalisation d'une convention, d'un contrat »

Mais que la sémantique du terme s'est largement étoffée, et qu'il désigne au sens large aujourd'hui un état, une qualité quelconque.
La polyvalence du terme est illustrée par les définitions logiques suivantes :

Dire que l'énoncé $ P \implies Q $ signifie que :
. P est une condition suffisante pour Q
. Q est une condition nécessaire pour P

Ma question sur l'ambiguité temporelle logique reste ouverte :

De la même manière que la langue française peut mélanger deux notions (par exemple le ou inclusif et le ou exclusif), j'ai le sentiment que le language logique mélange la notion de condition et de conséquence avec son signe $ \implies $ :

Dans l'expression $ A \implies B $, B est-il une condition (évènement antérieur) ou une conséquence (évènement postérieur) de A ?
Pourquoi la logique s'affranchit-t-elle de cette notion de successivité des évènements, c'est-à-dire de temps? Cela n'est-il pas source de sérieuses insuffisances dans certaines modélisations d'évènements? (il n'y a pas de temps à ma connaissance en mathématiques mais j'ai cru comprendre qu'il y en avait en informatique, physique, évidemment sciences humaines (donc en théorie des jeux, où la logique s'immisce?)

Il va de soi que mon emploi du terme 'condition' s'effectue dans le sens de 'condition nécessaire'

gerard0 · November 2012

Thibault :

Savoir si c'est un pléonasme ou pas n'a aucune importance. On emploie "condition nécessaire" comme tu le sais.
Quand à la temporalité, elle est hors sujet : Si A implique B, A et B sont des propositions mathématiques intemporelles, aucun des deux ne précède l'autre (sauf dans l'ordre d'écriture utilisé, qui peut être inversé : B est impliqué par A).

Et ça ne restreint absolument pas la logique, puisque dans les domaines où la temporalité est utilisée on utilise sans problème la logique. Sans compter que pas mal de physiciens essaient actuellement de se passer de la notion de temps !!

Cordialement.

thibault · November 2012

Gérard les mathématiques sont bien sûr instantanées mais dans d'autres sciences il y a un ordonnancement clair des évènements.
J'imagine que quand on applique la logique à des domaines extra mathématiques, on inclu la notion de temps à l'intérieur même des propositions mathématiques, c'est à dire que pour dire que B est une conséquence de A [respectivement B est une condition nécessaire à A], on écrit d'une certaine manière $A(t_0) \implies B(t_0+x)$ [respectivement $A(t_0+x) \implies B(t_0)$ ]

thibault · November 2012

cf en informatique : Arrivé-avant
en fait il y a tout un tas de structures logiques mises à disposition?

gerard0 · November 2012

Thibault

Comme souvent, tu mélanges les registres, ce qui te donne des questions confuses et sans intérêt. La causalité (temporelle) en physique n'est pas une question d'implication. L'implication logique ne dit rien de la liaison entre les propriétés : $A \Rightarrow B$ ne donne pas de liaison entre $A$ et $B$ (autre que celle de la définition de l'implication, qui est particulièrement pauvre).
Mais comme je ne veux pas parler pour rien, peux-tu rappeler ce que veut dire $A \Rightarrow B$ ?

Cordialement.

NB : $2=3 \Rightarrow $ "la Lune est en fromage blanc".

Thibaud0 · November 2012

$ A \implies B $ signifie à mon sens (qui est le sens courant, utilisé par mes profs de maths au tableau en tout cas) que disons par exemple "B est une conséquence directe de A". De manière plus précise cela signifierait que je ne peux pas avoir A vrai et B faux en même temps (ce que me confirme la table logique de wikipedia).
Effectivement, il est difficile (ou très délicat) d'y extraire une notion de causalité (au sens de A produit

...

Faut-il donc distinguer la notion de conséquence au sens courant de cette notion que définit le symbole $ \implies $ ?

Faut-il arrêter d'interpréter automatiquement ce symbole dans le sens de "Si ... alors ... " ?

Existe-t-il un symbole logique que l'on peut utiliser sans trop faire d'abus pour désigner "A produit B" (B est une conséquence de A), et "A est une clause de B"?

(A noter que ton contre exemple est un cas très très particulier je crois car en mathématiques il me semble qu'on ne manipule que des propositions vraies?
Et puis il est abusif car il n'est pas précisé dans quel contexte on a 2=3 ?)

Bruno · November 2012

thibaud : a écrit:

car en mathématiques il me semble qu'on ne manipule que des propositions vraies?

Où as-tu lu cela ? Si l'on ne manipulait que des propositions vraies on n'irait pas très loin car, a priori, tu ignore la véracité d'une proposition et donc tu ne pourrais manipuler celle-ci

.

Si tu te poses ce genre de question de logique, il faudrait que tu regardes les premiers chapitres consacrés aux langage de n'importe quel ouvrage de logique (Cori et Lascar ou Krivine) pour n'en citer que des assez anciens.

Bruno

thibault · November 2012

Bruno
Effectivement j'ai parlé trop vite. (on manipule des propositions fausses dans le raisonnement par l'absurde).
Mais pour être plus précis, peut-on dire qu'on ne manipule en mathématiques que des propositions cohérentes et incohérentes ?

Siméon0 · November 2012

Considérons l'expression populaire « il n'y a pas de fumée sans feu ». L'implication sous-jacente est $\mathrm{fumée} \implies \mathrm{feu}$ et pour autant, c'est bien le feu qui est la cause de la fumée.

De façon plus générale, une proposition $A\implies B$ ou sa contraposée $\mathrm{non}\, B \implies \mathrm{non}\, A$ étant équivalentes, il me semble utopique de vouloir associer à une implication quelque notion de causalité ou de temporalité que ce soit.

gerard0 · November 2012

Thibault a écrit:

Faut-il donc distinguer la notion de conséquence au sens courant de cette notion que définit le symbole $ \implies $ ?

Ben oui !! le symbole logique $ \implies $ a une signification précise et technique.

Faut-il arrêter d'interpréter automatiquement ce symbole dans le sens de "Si ... alors ... " ?

Tout dépend du sens que tu mets dans "si ... alors ...". Si ce n'est pas le sens logique, utilisé en maths, il faut éviter de confondre.

Existe-t-il un symbole logique que l'on peut utiliser sans trop faire d'abus pour désigner "A produit B" (B est une conséquence de A), et "A est une clause de B"?

Non, puisqu'il ne s'agit plus de logique. Dans les sens que tu as utilisés.

Et puis il est abusif car il n'est pas précisé dans quel contexte on a 2=3

je ne connais aucun contexte qui rend 2=3 vrai. Donc le contexte n'a pas d'importance. Et tu as très bien compris, donc évite les arguments purement dilatoires.

A noter : Il est impossible d'avoir simultanément "2=3" vrai et "la Lune est en fromage blanc" faux, donc l'implication est vraie.

Cordialement.

thibaulte · November 2012

Ok je vous remercie pour vos éclairages, c'est bien clair maintenant.

(gerard, sur le contre exemple je voulais signifier que d'un point de vue logique la construction des naturels est arbitraire (enfin je crois?) mais c'est un détail car ton exemple est largement parlant et c'est ce qu'on lui demande)

thibault · January 2013

A1
Le raisonnement par analyse synthèse est-il le raisonnement inverse du raisonnement par l'absurde?
Il me semble que dans le raisonnement par analyse-synthèse, on suppose une proposition vraie, et on vérifie qu'elle est cohérente.Dans le raisonnement par l'absurde, on suppose une proposition fausse, et on vérifie qu'elle est incohérente.

A2
Une condition suffisante est-elle nécessairement nécessaire? Dit autrement, deux conditions nécessaires (à un même résultat) sont elles nécessairement équivalentes ?
( B => A et C => A ) => ( B <=> C ) ?

A3
Quand je dis en français "Soit x". Comment cela s'écrit-il en mathématiques?

A4
Pouvez-vous me donner un exemple d'endomorphisme non bijectif?

A5
A et B sont des ensembles quelconques.
$ \phi(A) = \phi(B) \implies A = B \text{ssi} \ \ \phi \text{est injective?} $

ev · January 2013

Bonsoir thibault

A1 C'est quoi l'inverse d'un raisonnement ?

A2 FAUX : B : 1 = 2; A = C : 1 = 1

A3 "Soit x". s'écrit en mathématiques "Soit x". Ce qui est écrit en français a autant de sens en français qu'en maths.

A4. L'application nulle sur un espace qui n'est pas nul.

A5. Quantificateurs requis, merci.

bonne année,

e.v.

thibault · January 2013

Merci ev.

A1
Oublions la notion d'inverse ; ma remarque est-elle juste?
Dans le raisonnement par analyse-synthèse, on suppose une proposition vraie, et on vérifie qu'elle est cohérente. Dans le raisonnement par l'absurde, on suppose une proposition fausse, et on vérifie qu'elle est incohérente.

A3
Oui mais je souhaiterais connaître la traduction mathématiques quand même ! Quand je dis "Quelque-soit x" l'équivalent est mathématique est $ \forall x $ ; qu'en est-il de "Soit x"

A5
$ \forall A, B, \phi, \ \ \phi(A) = \phi(B) \implies A = B \text{ssi} \ \ \phi \text{est injective?} $

gerard0 · January 2013

Bonsoir Thibault.

1) Comme "A est vrai" est, en logique classique, la même chose que "non-A est faux", ta question n'est plus très pertinente. D'ailleurs, de nombreuses "démonstrations par l'absurde" sont en fait de preuves par contraposition : De "non-A implique faux" on tire "vrai implique A", puis "A est vrai".
3) "Soit x" n'est pas utile en maths tout seul. mais si tu veux traduire dans une formule "soit x un réel", tu écris bien entendu $x\in \mathbb R$, car ta phrase disait seulement "x est un réel" ("soit noté x un réel" signifie "dans la suite le symbole x est la notation d'un réel")
4) A=2, B=5, $\phi$ est la mesure du nombre de chiffres dans l'écriture d'un nombre en décimal. Je peux en déduire que $\phi$ "est injective" ? Il y a un problème évident : $\forall A$ n'a pas de signification. Il va falloir affiner ta proposition.

Cordialement.

thibault · January 2013

Merci gérard.

Q5bis
$ \forall A, B \in \mathfrak P(X)\ \ \phi : X \rightarrow X, \ \ \phi(A) = \phi(B) \implies A = B \text{ssi} \ \ \phi \text{est injective?} $

Q6
Dans un poly que j'ai sous la main, on parle des éléments de GL(X), les automorphismes linéaires. Un automorphisme linéaire n'est rien de plus qu'un automorphisme tout court?

gerard0 · January 2013

J'ai écrit une grosse bêtise. Je barre ! Ce qui reste me semble sain.
Pour 5bis, je ne crois pas au "ssi" A cause de l'application de $\{1,2,3\}$ dans lui-même qui associe 1 à 1, 2 et 3.
Mais n'importe comment, les quantificateurs sont mal placés. Ne voulais-tu pas dire :
Soit $X$ un ensemble et l'application $\phi : X \to X$ Alors :
$ \big (\forall A, B \in \mathfrak P(X)\ \ \phi(A) = \phi(B) \implies A = B \big ) \Leftrightarrow \ \ \phi \text{est injective} $
Et mon exemple montre que c'est faux.
Rajout : Fais-en la preuve...

6) La précision est utile quand la structure algébrique n'est pas donnée. Il peut y avoir plusieurs structures, et même sur un espace vectoriel, il y a des automorphismes de groupe.

Cordialement.

thibault · January 2013

gerard a écrit:

Rajout : Fais-en la preuve...

Effectivement c'est clair dès lors qu'on revient aux définitions.

Je revient sur la notion de "soit x". Tu me dis qu'il suffit de mentionner l'ensemble auquel il appartient, c'est-à-dire X ici.
Qu'en est-il de "soit X", où X est un ensemble ? Comment écrire exclusivement mathématiquement

Soit $X$ un ensemble ; $\phi : X \to X$ ;
$ \big (\forall A, B \in \mathfrak P(X)\ \ \phi(A) = \phi(B) \implies A = B \big ) \Leftrightarrow \ \ \forall x_1, x_2 \in X, \phi(x_1)=\phi(x_2) \implies x_1=x_2 $

On ne va pas mettre une clef de sol quand même?

gerard0 · January 2013

Il y a deux sens à "Comment écrire exclusivement mathématiquement ":
1) Comment écrire à la façon d'un article de chercheur en mathématique, ou à la façon d'un corrigé de l'agreg.
2) Comment écrire en formulation purement symbolique, sans un mot de français ou d'une autre langue vernaculaire.

Pour le 1, pas de problème, on utilise le français (ou l'anglais international).
Pour le 2, personne ne le fait, mais tu peux lire les "Principia mathematica" de Bertrand Russel pour comprendre. Ou alors tu définis un symbole spécial pour dire que X est un ensemble, si $ \phi : X \to X$ ne le dit pas assez nettement.

Mais les ensembles étant les objets de base en maths, et même certaines constructions permettant de ne travailler qu'avec des ensembles, il peut sembler inutile de mathématiser "X est un ensemble".

Cordialement.

les questions bêtes de thibault

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