Suites invariantes par une transformation

Cidrolin · July 2012

Bonjour, avec un tableur je transforme une suite donnée d'entiers (en jaune) en une autre suite d'entiers (en vert).

La suite de départ doit vérifier $u_0=1$ et $u_1=2$.

file.php?2,file=24156

Je cherche les suites qui sont invariantes par cette transformation. J'obtiens:

$u_2 \in \mathbb Z$ ; $u_3=6u_2 - 16$ ; $u_4 \in \mathbb Z$; $u_5=512-160u_2+10u_4$; . . .

J'ai trouvé quelques suites qui convenaient

1) $u_n=2^n$;

2) $u_n=C_{2n}^n$;

3) $u_n=4u_{n-1}+\lambda u_{n-2}$ avec $u_0=1$ et $u_1=2$ et $\lambda \in \mathbb Z$;

4) les nombres de Catalan: $u_n=C_{n+1}$:

file.php?2,file=24157

Cette transformation est-elle connue ? Y a t-il d'autres suites ? 24156

cretois · July 2012

Je ne comprends pas bien cette transformation. Ca donne quoi sur 1 2 3 4 5 ....

bisam · July 2012

Si j'ai bien compris Cidrolin, on peut exprimer sa transformation de la façon suivante.
Notons $s$ la fonction "shift", c'est-à-dire la fonction de $\R^{\N}$ dans lui-même qui à la suite $(u_n)_{n\in\N}$ associe $(u_{n+1})_{n\in\N}$ et $T=4Id-s$
Alors la transformation de Cidrolin est $$C:u\mapsto \left(\left(T^n(u)\right)_0\right)_{n\in\N}$$

Je ne sais pas ce qu'on peut en dire mais mes premières pensées me disent qu'il sera difficile de l'étudier en restant dans le cadre des suites (car on maîtrise généralement mieux ce qui se passe à l'infini qu'au premier terme !). Peut-être vaudrait-il mieux passer dans le cadre des séries formelles par exemple...
Ce n'est qu'une idée en l'air que je n'ai pas encore testée...

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