paradoxe de Zénon...
Bonjour, je ne sais pas si c'est la bonne rubrique. Bon voilà dans le "paradoxe" d'Achille et la Tortue et autres similaires, on s'en tire (en maths) en disant "calculez la série infinie qui etc..."....Mais philosophiquement je crois n'avoir jamais vu d'explication valable. En particulier si le premier pas était infinitésimal (au sens de l'ANS) on n'irait pas très loin même en faisant beaucoup de pas. Quelqu'un aurait-il une justification "intuitivo philosophique "pour ces paradoxes.
Merci.
Cordialement.
Jean-Louis.
Merci.
Cordialement.
Jean-Louis.
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Réponses
A quoi sert de commencer par un pas infinitésimal ?
Pour ce que j'ai vu, on vulgarise quasi-systématiquement en terminant le raisonnement par :
"...donc Achille ne rattrapera jamais la tortue."
C'est ce jamais qui est fautif, puisque l'on considère des intervalles de temps de plus en plus petits, auxquels on fait correspondre des distances elles aussi de plus en plus courtes.
On s'interdit ainsi de franchir, et même d'atteindre, un certain moment.
Ce qui est contradictoire avec le concept de "jamais", qui suppose que, aussi longtemps qu'on procède, on n'y arrivera pas.
Mais justement on ne procède pas longtemps, on se limite à un segment (semi-ouvert) dans le temps.
Amicalement, bonne soirée.
Félix
Tu as un " blabla donc jamais" dans les presentations habituelles face auquel ton avis de sceptique est libre
On a dû le lui présenter de manière légèrement différente, de sorte que le paradoxe prétendait qu'il était impossible d'aller d'un point à un autre -- parce qu'il fallait parcourir la moitié de la distance, puis la moitié de la seconde moitié, etc...
Et Diogène s'est mis à marcher.
***
Le problème avec un paradoxe de cette nature, totalement contradictoire avec l'expérience, est uniquement de SE convaincre que le raisonnement n'a pas de sens. Et comme d'hab, il y a beaucoup de moyens de se convaincre -- les séries, pourquoi pas~; mais Diogène me parle plus.
Pour faire simple considérons le paradoxe de la dichotomie : Zénon lance une flêche vers un arbre, peut-elle atteindre l'arbre ?
De deux choses l'une ou les intervalles d'espace sont divisibles indéfiniment ou ils ne le sont pas.
Supposons qu'ils le soient selon Anaxagore. Alors, pour que la flêche atteigne son but elle doit parcourir une distance d.
Mais pour cela elle doit parcourir 0,5 d + 0,25 d + 0,125 d+ etc, autrement dit d sera atteint au moyen d'une somme infinie qui pour les grecs de l'antiquité (- 5e siècle) ne pouvaient donner qu'un résultat infini. D'où une contradiction
Supposons maintenant avec Pythagore que l'espace n'est pas sécable indéfiniment, alors la somme ci-dessus est nécessairement finie, donc la flêche n'atteint pas son but, d'où une nouvelle contradiction.
Les deux interprétations conduisent à une contradiction, nous sommes bien en présence d'un paradoxe.
Il faut l'accepter.
Ce sont les philosophes qui ont regardé ça de près, car ça fait partie des notions de la philosophie grecque qui ont été conservées (alors que tant d'autres choses ont été perdues). Et conservées probablement parce que ça servait l'idéologie religieuse du bas moyen-âge.
Cordialement.
En effet,
Ceci dit on peut en faire une interprétation mathématique moderne mais l'aspect paradoxal disparait pour laisser la place à une simple incompréhension que les grecs avait des sommes infinies qui peuvent être finies.
Cordialement.
Jean-Louis.
je veux bien expliquer le paradoxe, mais j'aimerais d'abord savoir en quoi c'est paradoxal. Car je n'ai jamais vu ce qui pose problème :
Pour aller de A à B, il faut passer par C, le milieu de [AB]; pour aller à C, il faut passer par D, le milieu de [AC]; pour ...
Oui, et alors ? Il y a possibilité de faire une infinité de phrases. Où est le problème ?
Donc donne moi le problème et je chercherai.
Pour les sophistes grecs, il y avait problème, car ils refusaient toute infinité, même potentielle.
Cordialement.
De la m^me façon je suis géné quand j'entends Reeb dire "les entiers naïfs ne remplissent pas N...Un entier non naif est supérieur à tout entier naif...Ca donne donc l'impression 'fausse mais impression forte quand même) qu'il existe des éléments de N qui sont infinis...Or N est l'ensemble des ordinaux finis etc etc...
Voilà, c'est pas trop grave quand même pour ma santé mentale.
Cordialement.
Jean-Louis.
Ce matin il me restait à 08h00 4 heures pour atteindre midi.
A 10h00, une heure.
A 11h00, une demi-heure.
Et ainsi à l'infini.
Avec de la patience, on peut aboutir à des 10 ^ - 120 secondes, et il nous reste encore l'infini(ment petit) devant nous.
Mais pendant ce temps-là nous voici arrivés à 19h40.
Zénon plaque sur cette opération une bijection distances-durées.
Bonne soirée
mais ça complique fortement les mathématiques. L'infini actuel, accepté avec Leibnitz puis Cantor, a produit des avancées notables, mais aussi des notions problématiques (les infiniment petits, peut-être les développements actuels, dont la logique est imparable, mais qu'on regardera peut-être dans 2 siècles comme on regarde les infiniment petits de Leibnitz).
L'infini potentiel est plus difficile à refuser, car la liste des entiers ne s'arrête pas, et on a bien envie qu'un segment soit divisible à l'infini. C'est cette possibilité qui est à l’œuvre dans le paradoxe de Zénon. Plus exactement, je pense, le fait que dans ce cadre, il n'y a pas de premier point par lequel on passe. Mais une fois admis qu'il n'y en a pas, plus de problème.
On peut effectivement penser que l'espace est discret, donc plus de diagonale du carré ! Ce n'est pas plus délicat à penser que l'utilisation des modèles continus (loi uniforme, loi Normale) des probabilités pour traiter de problèmes statistiques réels : Ce ne sont que des modèles, la géométrie euclidienne est un modèle, valable à notre échelle, plus à l'échelle subatomique. Après tout, on le sait déjà ! Le diamètre d'un quark est une notion non signifiante.
Cordialement.
Par concession j'entends "concession d'un petit chouya de niveau de certitude"