Equation différentielle: f"(x)+f(-x)=x+cos(x)

Arten · November 2012

Bonsoir, le problème est dans le titre :
il s'agit de déterminer les fonctions deux fois dérivables sur telles que f"(x)+f(-x)=x+cos(x) (1)
Alors pour ça j'ai posé la fonction u=f(x)+f(-x) et v=f(x)-f(-x)
Puis j'ai calculé u" et v" et en posant X=-x j'ai remplacé (1)par
f"(-x)+f(-x)=-x+cos(x) (2)
j'ai ensuite fait (1)+(2) -> u"(x)+ u(x)= 2cos(x)
mais cette équation n'a pas de solution alors je me suis dis que mon changement de variable devait comporter une erreur de signe mais même en changeant (2) je ne trouve rien de satisfaisant qui me permettrait de trouver u et v pour enfin trouver f.

Quelqu'un pourrait m'aider s'il vous plaît ?

gerard0 · November 2012

Bonsoir.

"mais cette équation n'a pas de solution" Ah bon ? Moi j'en trouve. Une infinité !

Cordialement.

Raymond Cordier · November 2012

Tu as fait le plus dur, ramener cette équation à une équation différentielle ordinaire d'un type très connu : $u^{\prime \prime }(x)+u(x)=2\cos x$. Ton cours doit te dire comment résoudre celle-ci. Sinon, pose des questions.
Ensuite, tu fais de même pour $v$.
Et enfin, tu en déduis $f$.
Courage, tu vas y arriver.
Bonsoir.
RC

Arten · November 2012

Oui ça y est j'ai trouvé : ce qui me bloquait était la solution particulière u0 mais en passant par exp(ix) puis en prenant la partie réelle, j'ai fini par trouver après vérification
f(x) = a sh(x) +c cos(x) +x sin(x)/2 - x
Merci pour vos encouragements (ou votre humour pour certains)
bonne soirée

Equation différentielle: f"(x)+f(-x)=x+cos(x)

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