Laplacien

Bonjour
J'ai un exercice que j'essaie de faire depuis une semaine. Je suis bloqué en plein première question. Quelqu'un pourrait-il me dépanner ? Merci d'avance.
Voici l'exercice.
Soit $U$ un domaine borné de classe $C^{\infty}$ dans $\R^n$ et $f \in C^{\infty}(\overline U )$, $f \geq 0$, une fonction non identiquement nulle. On cherche une solution positive de l’équation
$(1) \qquad \begin{cases}
-\Delta u= \sqrt u+f &\text{dans }U \\
u=0 &\text{sur } \partial{U}
\end{cases}$
On considère l’énergie associée à (1) donnée par :
$ \displaystyle E(u) = \frac{1}{2} \int_U | \nabla u|^2 dx - \frac{2}{3}\int_U u\sqrt {|u|} dx - \int_U fu dx $
1) Montrer Que $E(u) $ est bien défini pour $ u\in H_0^1(u)$ et que $E$ est minorée.
Bien définie car
$\bullet$ $\frac{1}{2} \int_U | \nabla u|^2 dx = \frac{1}{2} ||\nabla u ||_{L^2}^2 =|| u ||_{H_0^1} ^2 < \infty$ car $U$ est bornée.
de même pour le reste .
Minoré ?
J'ai fait un long calcul sans arriver au bon résultat. C'est cela mon problème et j'ai n'arrive pas non plus à démontrer qu'elle différentiable.