Laplacien
dans Les-mathématiques
Bonjour
J'ai un exercice que j'essaie de faire depuis une semaine. Je suis bloqué en plein première question. Quelqu'un pourrait-il me dépanner ? Merci d'avance.
Voici l'exercice.
Soit $U$ un domaine borné de classe $C^{\infty}$ dans $\R^n$ et $f \in C^{\infty}(\overline U )$, $f \geq 0$, une fonction non identiquement nulle. On cherche une solution positive de l’équation
$(1) \qquad \begin{cases}
-\Delta u= \sqrt u+f &\text{dans }U \\
u=0 &\text{sur } \partial{U}
\end{cases}$
On considère l’énergie associée à (1) donnée par :
$ \displaystyle E(u) = \frac{1}{2} \int_U | \nabla u|^2 dx - \frac{2}{3}\int_U u\sqrt {|u|} dx - \int_U fu dx $
1) Montrer Que $E(u) $ est bien défini pour $ u\in H_0^1(u)$ et que $E$ est minorée.
Bien définie car
$\bullet$ $\frac{1}{2} \int_U | \nabla u|^2 dx = \frac{1}{2} ||\nabla u ||_{L^2}^2 =|| u ||_{H_0^1} ^2 < \infty$ car $U$ est bornée.
de même pour le reste .
Minoré ?
J'ai fait un long calcul sans arriver au bon résultat. C'est cela mon problème et j'ai n'arrive pas non plus à démontrer qu'elle différentiable.
J'ai un exercice que j'essaie de faire depuis une semaine. Je suis bloqué en plein première question. Quelqu'un pourrait-il me dépanner ? Merci d'avance.
Voici l'exercice.
Soit $U$ un domaine borné de classe $C^{\infty}$ dans $\R^n$ et $f \in C^{\infty}(\overline U )$, $f \geq 0$, une fonction non identiquement nulle. On cherche une solution positive de l’équation
$(1) \qquad \begin{cases}
-\Delta u= \sqrt u+f &\text{dans }U \\
u=0 &\text{sur } \partial{U}
\end{cases}$
On considère l’énergie associée à (1) donnée par :
$ \displaystyle E(u) = \frac{1}{2} \int_U | \nabla u|^2 dx - \frac{2}{3}\int_U u\sqrt {|u|} dx - \int_U fu dx $
1) Montrer Que $E(u) $ est bien défini pour $ u\in H_0^1(u)$ et que $E$ est minorée.
Bien définie car
$\bullet$ $\frac{1}{2} \int_U | \nabla u|^2 dx = \frac{1}{2} ||\nabla u ||_{L^2}^2 =|| u ||_{H_0^1} ^2 < \infty$ car $U$ est bornée.
de même pour le reste .
Minoré ?
J'ai fait un long calcul sans arriver au bon résultat. C'est cela mon problème et j'ai n'arrive pas non plus à démontrer qu'elle différentiable.
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Réponses
quelqu'un aurait des idées ou encore m'indiqué où est ce que je peux trouver des exercices + coriger typique(i.e les edp non lineaire) en parlant de reference.
Merci d'avance
Pour montrer qu'elle est différentiable. c'est qui me pose de problème la partie dans le racine. je ne vois pas comment me debarasser de $\sqrt{ |u+v|}$
merci d'avance
ou bien j'ai pris encore un mauvais piste?