Limite d'une intégrale, suites de fonctions

kevin93 · November 2012

Bonsoir,

Je bloque sur un exercice, j'aimerais savoir si vous avez des idées.

On définit une In, l'intégrale entre 0 et 1 de (x^n*ln(x))/(1+x), dont il faut étudier la limite. J'ai essayé d'appliquer le théorème de convergence dominée, en effet si on pose fn la fonction à l’intérieur de l’intégrale, on peut prolonger celle-ci par continuité en 0 par fn(0)=0 puisqu'elle tend vers 0 en 0. On obtient ensuite que fn converge simplement vers la fonction nulle pour tout x appartenant au segment [0,1]. Mais je ne parviens pas à majorer |fn(x)| par une fonction continue par morceaux qui ne dépendrait que de x à cause de |ln(x)|.

Raymond Cordier · November 2012

Pour obtenir cette limite, la convergence dominée n'est pas nécessaire.
Si $n\in \N^{*}$, alors : $\frac{x^{n}\ln x}{1+x}=x^{n-1}\frac{x\ln x}{1+x}$. Etc.
Bon courage.
RC

Siméon0 · November 2012

Pour la convergence dominée, tu peux utiliser la majoration $|x^n| \leq 1$ lorsque $x \in ]0;1[$.

kevin93 · November 2012

Merci pour la premiere proposition ca marche en effet. Par contre pour le deuxieme je ne vois pas vraiment parce que ce n'est pas |x^n| qui pose probleme dans la majoration....

Siméon0 · November 2012

Tu as dit :

kevin83 a écrit:

Mais je ne parviens pas à majorer |fn(x)| par une fontion continue par morceaux qui ne dependrait que de x à cause de |ln(x)|

Ce à quoi je t'ai fait remarqué qu'on a la majoration toute simple $|f_n(x)| \leq \frac{|\ln x|}{1+x}$.

kevin93 · November 2012

Oui mais |ln(x)|/(1+x) n'est pas continue par morceaux sur [0,1]

alradi · December 2012

Plutôt $x^n\ln(x)/(1+x)$ est dominé par $x\ln(x)/(1+x)$ qui lui est intégrable par morceaux sur $[0;1]$

jean lismonde · December 2012

bonjour

ton intégrale paramétrée converge vers 0 pour n infini comme $\frac{-1}{2(n+1)²}$

il suffit de développer en série $\frac{1}{1+x}$ et utiliser le résultat connu en calcul intégral

$\int_0^1x^nlnx.dx=\frac{-1}{(n+1)²}$

le développement en série (rationnelle) de ton intégrale est alors

$I_n = - \frac{1}{(n+1)²} + \frac{1}{(n+2)²} - \frac{1}{(n+3)²} +........$

et en mettant en facteur $\frac{-1}{(n+1)²}$ il vient:

$I_n = \frac{-1}{(n+1)²}[1 - \frac{(n+1)²}{(n+2)²} + \frac{(n+1)²}{(n+3)²} - \frac{(n+1)²}{(n+4)²} +......]$

et pour n infini il est aisé de considérer la limite de l'expression entre crochets soit $\frac{1}{2}$

d'où le résultat annoncé

cordialement

Limite d'une intégrale, suites de fonctions

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