multiplicateurs de Lagrange

Gateldtfister · May 2001

<HTML>Bonjour
j' aurais besoin d' un éclaircissement quant à la manière de calculer pratiquement les extrêma liés d' une fonction comme f(x,y)=y^2-4xy+4x^2 sur le contour x^2+y^2=1 au moyen des multiplicateurs de Lagrange.
Par avance merci</HTML>

claude0 · May 2001

<HTML>je ne connais pas les multplicateurs lagrange mais tu sais que tu peus utiliser le gradient de f et la matrice Hessienne de f pour le calcul d'extréma..

Richard André-Jeannin1 · May 2001

<HTML>Les multiplicateurs de Lagrange sont peu enseignés (à ma connaissance) dans les premiers cycles de maths. Par contre les économistes raffolent de cette méthode. Voici un aperçu rapide: on veut optimiser une fonction
f(x,y) (= y^2-4xy+4x^2) sous la contrainte g(x,y) = 0 (par exemple g(x,y) = x^2+y^2-1). Lagrange introduit un paramètre t (en général noté lambda) et introduit la fonction
L(x,y,t) = f(x,y) + t g(x,y). On remarque que L et f coincident sur la courbe
g(x,y) = 0 . On cherche alors les extremas libres de L. Une condition nécessaire est l'annulation des trois dérivées partielles; l'annulation de la dérivée par rapport à t nous donne justement g(x,y) = 0 , donc les extémas de L vérifient la contrainte et le maximum de L est aussi celui de f (lié par la contrainte)

Dans notre cas L(x,y,t)= y^2-4xy+4x^2 + t(x^2+y^2-1). On écrit que les dérivées partielles par rapport à x,y sont nulles, ce qui donne le système:

x(4+t) - 2y = 0
-2x+ y(1+t) = 0

Le déterminant doit être nul, sinon x = y = 0 serait la seule solution , non compatible avec la contrainte. On trouve t = 0 ou t = -5, ce qui donne x = y/2 ou
x = -2y. En reportant dans la contrainte x^2+y^2=1, on trouve 4 couples admissibles , il ne reste plus qu'à trier les minis et les maxis. Les minis sont atteints pour x = + - 5^(-0.5) et y = 2x (le mini vaut 0) et les maxis pour
x = + - 2*5^(-0.5) et y = - x/2 (le maxi vaut 5).

J.Jacquelin · May 2001

<HTML>On a une fonction f(x,y)=y^2-4xy+4x^2 dont on cherche les extremum locaux sur une fonction g(x)=x^2+y^2-1=0.
Puisqu'il n'y a qu'une relation de contraintes g(x)=0, il n'y a qu'un multiplicateur de Lagrange généralement noté lambda, ici noté L.
df/dx+L.dg/dx=-4y+8x+2xL=0
df/dy+L.dg/dy=2y-4x+2yL=0
(dans ces deux équations, les x et y ne sont plus des variables. Ce sont les coordonnées des extremum)
2x-y=-xL/2=yL donc deux possibilités :
Premièrement : y=-x/2 . L'équation g(x)=0 donne x^2=4/5
extremum : x=2/5^(1/2), y=-1/5^(1/2), f=5
extremum : x=-2/5^(1/2), y=1/5^(1/2), f=5
Deuxièmement : L=0, y=2x . L'équation g(x)=0 donne x^2=1/5
extremum : x=1/5^(1/2), y=2/5^(1/2), f=0
extremum : x=-1/5^(1/2), y=-2/5^(1/2), f=0

Conclusion : lorsque l'on effectue le tour du cercle x^2+y^2-1=0 dans le sens trigonométrique en partant de (x=1, y=0, f=4), la fonction f(x,y) décroît jusqu'à f=0 pour x=1/5^(1/2), y=2/5^(1/2), puis croit jusqu'à f=5 pour x=-2/5^(1/2), y=1/5^(1/2), puis décroît jusqu'à f=0 pour x=-1/5^(1/2), y=-2/5^(1/2), puis croit jusqu'à f=5 pour x=2/5^(1/2), y=-1/5^(1/2) , décroît jusqu'à la valeur du point de départ.

manu0 · May 2001

<HTML>Rappelons le théorème des extrémas liés:
Soit f,g1,...,gr r+1 fonctions définies sur un ouvert U de IR^n dans IR et de classe C1 sur cet ouvert. Soit G le sous ensemble de IR^n solution du système g1=...=gr=0. Soit g la restriction de f à G.
Si g admet un extrémum relatif en a appartenant à G, et si les formes linéaires d_a g1, d_a gr (d_a g1= différentielle de g1 en a) sont linéairement indépendantes alors il existe des réels k1,...,kr tels que d_a f=k1.d_a g1+...+kr.d_a gr ( les réels k_i sont les multiplicateurs de Lagrange).

Revenons au problème proposé: n=2, f(x,y)=y^2-4xy+4x^2 et g_1(x,y)=x^2+y^2-1
G=g^-1(0)= le cercle de IR^2. G est un compact de IR^2 et f est continue sur ce compact. f possède donc un minimum et un maximum qu'elle atteind sur G.
g possède donc des extrémums relatifs sur G. Notons a=(x_a,y_a) un de ces extrémums relatifs. La famille de formes linéaires ed_a g1, d_a gr est restreinte à d_a g=2.x_a.dx+2.y_a.dy ( qui à elle seule forme bien une famille de formes linéaires indépendantes!! ) .

La différentielle de f en (x,y) de IR^2 vaut: d_(x,y) f=(-4y+8x).dx + (2y-4x).dy.

Le théorème affirme l'existence d'un réel k tel que d_a f=k.d_a g. En identifiant, on trouve les deux équations:

-4y_a+8x_a=k.2.x_a et 2y_a-4x_a=k.y_a

Ce sytème n'a comme unique solution que le couple (0,0) sauf si k=0 ou si k=5.
Ce dernier couple ne peut être l'extrémum recherché car il n'appartient pas à G. Si k=0, alors (x_a,y_a)=(x_a,2x_a). Les extrémums de g sont donc parmi les points de G dont l'ordonnée est le double de l'abscisse. Si k=5 alors (x_a,y_a)=(-2y_a,y_a) et les extrémums de g sont parmi les points de G dont l'abscisse est l'opposée du double de l'ordonnée.

Soit m=5^(1/2). Les extrémums sont donc parmi les 4 couples (1/m,2/m), (-1/m,-2/m), (-2/m,1/m) et (2/m,-1/m). Attention, je ne crois pas comprendre que le théorème des extrémas liés prétende que ces quatres couples sont des extrémums relatifs pour f restreind à G. Je pense qu'il faut dire:" les extrémums de f restreind à G sont parmi les couples (1/m,2/m), (-1/m,-2/m), (-2/m,1/m) et (2/m,-1/m) ".

Manu

Gateldtfister · May 2001

<HTML>Merci à tous pour ces explications.

terremoto · January 2013

Je voudrais connaitre le maximum et le minimum absolu de la fonction f(x,y) = x² + y² - x - y + 1 sur le disque de rayon l'unité centré à l'origine, en utilisant les multiplicateurs de Lagrange

[Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) prend toujours une majuscule. AD]

C. de Pluquaire · January 2013

Bonjour,

Avec les exemples traités en détail ci-dessus, tu n'auras aucune peine.

Bien cordialement.

ev · January 2013

En faisant un petit dessin, on voit immédiatement que le maximum est atteint pour $(x,y) = (-\frac{\sqrt2}2,\frac{\sqrt2}2)$ et que le minimum est atteint pour $(x,y) = (\frac{\sqrt2}2,\frac{\sqrt2}2)$.

Bon, objectivement les multiplicateurs de Lagrange vont aussi vite.

e.v.

Euhhhh · January 2013

Pour pouvoir utiliser les multiplicateurs de Lagrange dans ce cas il faut peut être
commencer par justifier que les extrema cherchés sont situés sur le bord du disque ....

ev · January 2013

Pas faux, mais bon une fonction convexe sur un compact prend son maximum sur un point extremal.

Pour le minimum c'est plus délicat, vu qu'il est à l'intérieur du disque...

amicalement,

e.v.

multiplicateurs de Lagrange

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