Continuité
dans Les-mathématiques
Je n' arrive pas à démontrer la prop suivante :
Soit X espace topologique, a:N--X une suite à valeurs dans X et l un point de X.
Alors :
Si X est un espace métrique, lim a(n)=l si et seulemt si
qd n tend vers l infini
Qq soit epsilon>0 il existe N dans N , qqsoit n>N :d(a(n),l)lim d(a(n),l)=0
n tend vers l infini
Soit X espace topologique, a:N--X une suite à valeurs dans X et l un point de X.
Alors :
Si X est un espace métrique, lim a(n)=l si et seulemt si
qd n tend vers l infini
Qq soit epsilon>0 il existe N dans N , qqsoit n>N :d(a(n),l)lim d(a(n),l)=0
n tend vers l infini
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Réponses
- La suite a(n) converge vers le point l de X.
- La suite u(n)=d(a(n),l) tend vers 0 dans IR.
Pour cela il te suffit d’écrire la définition de la limite d’une suite vers un point d’un espace topologique :
a(n) converge vers le point l de X si et seulement si pour tout epsilon>0 il existe N(epsilon) dans IN tel que n>N => d(a(n),l)
Supposons que a(n) converge vers l :
Epsilon étant quelconque dans IR+, on peut le choisir égal à 1/m où m est un entier non nul quelconque. D’après la définition précédente, on peut alors trouver un entier N(m) tel que si n>N alors d(a(n),l)<1/m. Si m tend vers l’infini ceci implique que d(a(n),l)->0.
Réciproquement si u(n)=d(a(n),l) tend vers 0 quand n tend vers l’infini :
Alors par définition de la convergence d’une suite , pour tout epsilon>0 il existe N(epsilon) dans IN tel que n>N => |u(n)-0|Ce qui réécrit avec la valeur de u(n) donne : Pour tout epsilon>0 il existe N(epsilon) dans IN tel que n>N => d(a(n),l)Cette dernière écriture est exactement la définition de la convergence de la suite un vers 0 dans IR et ceci termine donc la preuve de la proposition.
Si je n’ai pas (ou mal) répondu à la question que tu posais n’hésite pas à le faire savoir.
Tu peux aussi consulter le cours sur les espaces métriques où taper dans le moteur de recherche du site « suite convergente » pour avoir des informations complémentaires.
Manu.
Donc
lim d(a(n),l) quand n tend vers l'infini = d(lim a(n) quand n tend vers l'infini,l)=d(l,l)=0
La premiére égalité provient de la continuité de l'application d: (rappel:f est continue en x <=> pour toute suite x(n) convergeant vers x lim x(n) quand n tend vers l'infini = f(x)).
La deuxième égalié provient de la convergence de la suite x(n) vers l et de la définition d'une métrique sur un ensemble.
Si tout cela était un peu confus ou rapide dis le moi. Dans le cours sur les espaces métriques tu trouveras des infos complémentaires.
Manu
Tu m' a été d' un grand secours et j' ai trouvé tes explications très claires.
En outre le cours disponible sur le site complète très bien le mien, et j' y ai trouvé toutes sortes de propositions très utiles.
Encore merci et à bientôt sûrement