Dérivée covariante seconde d'un vecteur
dans Les-mathématiques
Comment démontrer que la dérivée covariant seconde d'un vecteur est donnée par :
$\nabla _k \left( {\nabla _j v_i } \right) = \partial _{kj} v_i - \left( {\partial _k \Gamma _{ji}^l } \right)v_l - \Gamma _{ji}^l \partial _k v_l - \Gamma _{ik}^r \partial _j v_r + \Gamma _{ik}^r \Gamma _{jr}^l v_l\Gamma _{jk}^r \partial _r v_i + \Gamma _{jk}^r \Gamma _{ri}^l v_l$
$\nabla _k \left( {\nabla _j v_i } \right) = \partial _{kj} v_i - \left( {\partial _k \Gamma _{ji}^l } \right)v_l - \Gamma _{ji}^l \partial _k v_l - \Gamma _{ik}^r \partial _j v_r + \Gamma _{ik}^r \Gamma _{jr}^l v_l\Gamma _{jk}^r \partial _r v_i + \Gamma _{jk}^r \Gamma _{ri}^l v_l$
Réponses
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Je reprends ... :
Comment démontrer que la dérivée covariant seconde d'un vecteur est donnée par :
$\nabla _k \left( {\nabla _j v_i } \right) = \partial _{kj} v_i - \left( {\partial _k \Gamma _{ji}^l } \right)v_l - \Gamma _{ji}^l \partial _k v_l - \Gamma _{ik}^r \partial _j v_r + \Gamma _{ik}^r \Gamma _{jr}^l v_l - \Gamma _{jk}^r \partial _r v_i + \Gamma _{jk}^r \Gamma _{ri}^l v_l $ -
arghh !!!!
Comment démontrer que la dérivée covariant seconde d'un vecteur est donnée par :
$\nabla _k \left( {\nabla _j v_i } \right) = \partial _{kj} v_i - \left( {\partial _k \Gamma _{ji}^l } \right)v_l - \Gamma _{ji}^l \partial _k v_l - \Gamma _{ik}^r \partial _j v_r + \Gamma _{ik}^r \Gamma _{jr}^l v_l - \Gamma _{jk}^r \partial _r v_i + \Gamma _{jk}^r \Gamma _{ri}^l v_l $ -
Ouullaaaaaaaaaa , benh écoute je me rappelle d'une vieille formule de physique de mon temps où j'étais en spé:
div grad = grad div - laplacien (sauf erreur)
si çà peut t'aider....
cordialement -
je vais voir... c'est peut-être une bonne idée en attendant d'autres propositions
-
oups oups oups:
il y a effectivement une erreur:
c'est Rot rot = grad div - laplacien -
essaie peut-etre d'ecrire les $ \Gamma $ en fonction de la metrique.
tonio
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Bonjour!
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