Mise en forme Factorielle
Bonjour, voilà j'ai un peu de mal encore avec la mise en forme factorielle et j'aimerais savoir si vous pouviez un peu m'aider, ma question est la suivante :
Après un calcul pour chercher les solutions d'une équation différentielle en série entière, je trouve une relation de récurrence avec les ak et ak-2
Je trouve donc ak= ( -(ak-2) ) / k(2n+k) ) avec a1=0 et a0=qcq avec n appartenant à N et k supérieur ou égale à 2
Je doit mettre les ak sous forme factorielle, après une petite récurrence on trouve rapidement
a2k+1=0 mais pour les a2k je ne trouve pas la solution. J'ai trouvé pour le moment a2k= ((-1)^k.a0) / (2^(2k)*??), il me manque les factorielles, dépendantes de k et de n...
J'ai bien entendu calculé a2, a4, a6 pour essayer d'établir après une récurrence l'expression des a2k, mais je m'arrache les cheveux depuis un bout de temps maintenant sur cette expression...
Cordialement,
Après un calcul pour chercher les solutions d'une équation différentielle en série entière, je trouve une relation de récurrence avec les ak et ak-2
Je trouve donc ak= ( -(ak-2) ) / k(2n+k) ) avec a1=0 et a0=qcq avec n appartenant à N et k supérieur ou égale à 2
Je doit mettre les ak sous forme factorielle, après une petite récurrence on trouve rapidement
a2k+1=0 mais pour les a2k je ne trouve pas la solution. J'ai trouvé pour le moment a2k= ((-1)^k.a0) / (2^(2k)*??), il me manque les factorielles, dépendantes de k et de n...
J'ai bien entendu calculé a2, a4, a6 pour essayer d'établir après une récurrence l'expression des a2k, mais je m'arrache les cheveux depuis un bout de temps maintenant sur cette expression...
Cordialement,
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Réponses
Je suppose que $n$ est fixé ? Comment a-t-il pu disparaitre du résultat que tu supposes ?
en posant ensuite u(x)=Somme(ak x^(k))
Dans le résultat que j'ai proposé, j'ai pas mis de n, car ne je trouve pas l'expression.
Essaye avec
$a_{2k}=\dfrac{(-1)^ka_0}{2^{2k}\,k!(n+1)...(n+k)}$
Si ça marche, et si tu veux plus de factorielles, tu peux écrire $\dfrac{1}{(n+1)...(n+k)}=\dfrac{n!}{(n+k)!}$
... et vérifie soigneusement!
Par contre, je ne comprend toujours pas comment vous avez trouvé ce résultat en ce qui concerne les factorielles,
$a_{2k}=\dfrac{(-1)^ka_0}{2^{2k}\,k!(n+1)...(n+k)}$
Pour le dénominateur, on a a2=2.(2+2n) a4=2.4.(2+2n).(4+2n) a6=2.4.6.(2+2n)(4+2n).(6+2n), on trouve a2k=2^(2k). et c'est la que je bloque
$2.4.6.(2n+2)(2n+4)(2n+6)=2^6(1.2.3)((n+1)(n+2)(n+3))$
... et c'est un métier! Quand tu en seras à la centième, probablement tu trouveras... ou pas!
J'espère que ces fatorielles n'auront plus de secret pour moi maintenant.
Merci de votre aide, je vous souhaite une bonne journée !