norme et norme infinie

Julien31 · June 2004

Bonjour à tous, voilà j'ai quelques soucis pour cet exo.

Soit $N$ une norme sur $\mathcal{M}_n(\C)$ et $A \in \mathcal{M}_n(\C)$.
Déterminer la limite de $N(A^p)^{\frac{1}{p}}$ quand $p$ tend vers l'infini.

Intuitivement, je sens que la limite est la norme infinie de $A$.
Quand $A$ est unitaire, j'arrive à le démontrer.
Maintenant, je me pose la question suivante : l'ensemble des matrices unitaires de $\mathcal{M}_n(\C)$ est-il dense ?

Merci pour vos éclaircissements

pilzenbir0 · June 2004

Salut Julien
Tu me dis si je me trompe.
Les matrices unitaires sont celles qui ont un déterminant valant 1, soit alors une petite boule autour du nombre 2 dans $\R$ :
$B_{\epsilon}=(x/ |x-2| < \epsilon)$ alors l' image réciproque par la fonction déterminant de $B_\epsilon$ est un ouvert (car le déterminant est continu) de $M_n(\mathbb{C})$ - qui ne contient pas de matrices unitaires la densité n'est donc pas vérifiée.

Julien31 · June 2004

oui c'est juste, et ça complique bien mon problème....

Eric 2 · June 2004

Bonjour,

Comme toutes les normes sont equivalentes il suffit de le faire
pour la norme de ton choix. Par exemple la norme infinie.
Ensuite tu trigonalises (ou diagonalises) (le mieux c est de Jordaniser
ou d utiliser la decomposition D+N)
et tu calcules... Tu dois trouver que la limite est le sup en valeur absolue
des valeurs propres de A...

Eric

pilzenbir0 · June 2004

Pourquoi quand p tend vers l' infini la limite avec deux normes équivalente serait la même?

Eric 2 · June 2004

a cause de la puissance 1/p...

georgesZ1 · June 2004

Bonjour
Si $N$ est une norme d'algèbre de Banach unifère sur $\mathcal{M}_n(\C)$,
la limite de $N(A^p)^{\frac{1}{p}}$ quand $p$ tend vers l'infini est le rayon spectral de $A$, $r(A)$ qui est égal à $\max\{|a| : a \in Sp(A)v\} \leq N(A)$.
Voir par exemple Rudin Functional Analysis (10.13).
Amicalement,
Georges

pilzenbir0 · June 2004

Ha oui la puissance 1/p OK ça marche merci!

Julien31 · June 2004

bon ok , j'ai fait en diagonalisant et en utilisant la norme deux, mais effectivement la norme infinie est nettement mieux adaptée

PS : cet exo est un oral de concours, donc parler d'espace de banach unifère passe peut-être mais j'en doute...

ferfelue · March 2012

bonsoir, a tous
j'ai une petit soucis

$\lim(||y_n||_\infty)$ est elle égale à le $\|\lim y_n||$ sachant que$ y_n $est une suite convergente

merci d'avance

gerard0 · March 2012

Bonsoir Ferfelue.

Drôle d'idée de pirater un message vieux de 7 ans au lieu d'en poser poliment un nouveau !

Et c'est quoi, $y_n$ ?
Si c'est une fonction numérique, la réponse est non.

samok · March 2012

le titre de ce post est hénaurme.

S

ferfelue · March 2012

C'est une suite convergente
et a propos de message piraté je vois pas de quoi vous parler, en tout cas merci pour votre réponse

gerard0 · March 2012

Ferfelue a écrit:

a propos de message piraté je vois pas de quoi vous parler,

Ben !
Tu ne t'es même pas rendu compte que tu "répondais" à un message qui n'a rien à voir ? Tu as de la peau de sos devant les yeux !!
Cette impolitesse, de mettre dans une discussion posée par quelqu'un d'autre son propre message alors qu'on peut facilement en créer un, tout ça parce qu'on est tombé sur ce fil avec un moteur de recherche, mais qu'on ne l'a pas lu. Ce manque d'intelligence de croire que deux mots (norme infinie) résument une question. C'est désolant (*).

Maintenant ton sujet : Non ! Prends la suite $u_n$ nulle sauf son n-ième terme qui vaut justement n.

(*) Tu n'es pas la seule, mais ça n'excuse pas !

norme et norme infinie

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