fonction différentiable
bonjours !
voila j'ai un petit problème pour cet exercice :
Soit f de R^2 dans R une fonction différentiable
On considère la fonction g de R^2 dans R définie par
g(x,y) = f(x^2 - y^2,2xy )
Montrer que g est différentiable.
Calculer les dérivées partiels de g en fonction des dérivées partielles de f.
Je sais que je dois décomposer ma fonction en posant
h(x,y)=(x^2 - y^2 , 2xy) avec g = f o h
j'arrive à calculer les dérivées partielles de g
mais je ne vois pas comment on montre que g en différentiable.... est ce que ça suffit de donner les dérivées partiels de g pour le montrer ? ou il faut un autre argument ?
merci d'avance !
voila j'ai un petit problème pour cet exercice :
Soit f de R^2 dans R une fonction différentiable
On considère la fonction g de R^2 dans R définie par
g(x,y) = f(x^2 - y^2,2xy )
Montrer que g est différentiable.
Calculer les dérivées partiels de g en fonction des dérivées partielles de f.
Je sais que je dois décomposer ma fonction en posant
h(x,y)=(x^2 - y^2 , 2xy) avec g = f o h
j'arrive à calculer les dérivées partielles de g
mais je ne vois pas comment on montre que g en différentiable.... est ce que ça suffit de donner les dérivées partiels de g pour le montrer ? ou il faut un autre argument ?
merci d'avance !
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Réponses
Si h est différentiable en a, et f différentiable en h(a), alors f o h est différentiable en a
[ et d(f o h)(a)=df(h(a)) o dh(a) ]
J'ai cependant une autre question assez simple...
Pour monter que h(x,y)=(x^2 - y^2 , 2xy) est différentiable sur R^2 suffit-il de dire que : "h admet toutes ses dérivées partielles en (x,y) et ses dérivées partielles sont continues (donc h est différentiable) "?
Il faut que ses coordonnées, à savoir les fonctions (x,y)->x^2-y^2 et (x,y)->2xy soient différentiables, ce qui est vrai (fonctions polynomiales).
Cela règle rapidement le problème de la différentiabilité de h ^^
A noter que h est le carré complexe ^^
tu pourra regarde si les dérivées partielles sont continue pour dire que g est continue.mais s'ils ne sont pas continues cela ne veut pas dire que g n'est pas différentiable tu peux encore essayer g(x,y)-g(0,0),,,,,,,,,,,,