Le nombre d'or et la fonction Gamma
dans Les-mathématiques
Aoûtiennes, aoûtiens,
Tout le monde connait des liens entre la fonction $\Gamma$ et $e$, $\pi$ et encore $\gamma$ (la constante d'Euler). Il est plus dur de trouver des relations assez générales entre $\Gamma$ et le nombre d'or $\Phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$. Voici donc une petite relation que j'ai concoctée pour vous et qui repose sur une récurrence d'ordre $5$. Soit donc la suite récurrente d’ordre $5$ définie pour deux réels $\alpha,\beta>0$ par :
$u_1=u_2=u_3=u_4=0$, $u_5=1$ et :
$$u_{n+5}=u_{n}+\frac{5}{n}(\alpha\,u_{n+4}+ \beta\,u_{n+3}+ \beta\,u_{n+2}+ \alpha\,u_{n+1})$$
Alors on a :
$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n^{2\alpha+2\beta}}{5\,u_{n}}= \frac{{\Phi}^{(\beta-\alpha)\sqrt{5}}}{\sqrt{5}^{\alpha+\beta}}\,\Gamma(2\alpha+2\beta+1)$$
Sauf misprint, LCM
Tout le monde connait des liens entre la fonction $\Gamma$ et $e$, $\pi$ et encore $\gamma$ (la constante d'Euler). Il est plus dur de trouver des relations assez générales entre $\Gamma$ et le nombre d'or $\Phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$. Voici donc une petite relation que j'ai concoctée pour vous et qui repose sur une récurrence d'ordre $5$. Soit donc la suite récurrente d’ordre $5$ définie pour deux réels $\alpha,\beta>0$ par :
$u_1=u_2=u_3=u_4=0$, $u_5=1$ et :
$$u_{n+5}=u_{n}+\frac{5}{n}(\alpha\,u_{n+4}+ \beta\,u_{n+3}+ \beta\,u_{n+2}+ \alpha\,u_{n+1})$$
Alors on a :
$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n^{2\alpha+2\beta}}{5\,u_{n}}= \frac{{\Phi}^{(\beta-\alpha)\sqrt{5}}}{\sqrt{5}^{\alpha+\beta}}\,\Gamma(2\alpha+2\beta+1)$$
Sauf misprint, LCM
Réponses
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Benoit, l'homme aux mille et une relations :-))
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Si tu parles de filles, j'en ai eu moins ;-)
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Bonjour,
Ce serait une belle formule si elle était vérifiée !
En ce qui me concerne, je ne la trouve pas exacte. Mais peut-être y a-t-il une ambiguité dans la typographie, ou me suis-je trompé dans la vérification ?
En attendant d'autres avis ...
Il faudrait aussi faire des recherches bibliographiques : il me semble qu'il existe quelques formules plus ou moins alambiquées du genre de la suivante : -
Salut JJ. Non je ne crois pas avoir commis de faute de frappe. Je viens de vérifier grossièrement avec excell avec plusieurs valeurs aléatoires de alpha et beta. La limite obtenue pour 65000 itérations correspond à chaque fois à 10^-4 avec la valeur attendue. Bien sûr la précision est pas terrible mais ça correspond à la théorie et à la vitesse de convergence de la suite. Il s'agit d'un cas particulier d'un truc beaucoup plus général qui fait intervenir la fonction digamma à des arguments rationnels, d'où cette apparition de phi grâce au "Gauss digamma theorem".
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On a plus précisément :
$$\frac{n^{(2\alpha+2\beta)}}{5\,u_{n}}= \frac{({\Phi}^{(\beta-\alpha)\sqrt{5})}}{\sqrt{5}^{(\alpha+\beta)}}\,\Gamma(2\alpha+2\beta+1)(1+O(1/n))$$\\
Où le $O$ est grand. J'ai mis des parenthèses pour bien voir les exposants. -
Pour mieux voir qui disait !
$$\frac{n^{(2\alpha+2\beta)}}{5\,u_{n}}= \frac{{\Phi}^{((\beta-\alpha)\sqrt{5})}}{\sqrt{5}^{(\alpha+\beta)}}\,\Gamma(2\alpha+2\beta+1)(1+O(1/n))$$\\\\ -
Mea-culpa : j'avais une erreur de programmation dans la récurrence.
Maintenant, mes vérifications numériques sont bonnes : concordance avec 6 chiffres significatifs (série calculée jusqu'à n=10^7).
C'est intéressant. J'espère que ce sera publié, surtout s'agissant "d'un truc beaucoup plus général , etc."
Merci d'avance à Benoit. -
J'ai un pre-print en pdf mais les preuves sont d'une lourdeur et pas finalisées. Manipulations horribles de matrices (même pour le cas 2x2 c'est coton) mais ça marche. En fait je généralise la formule d'Euler pour la fonction Gamma (le produit que je considère en fait comme une récurrence linéaire d'ordre 1 à coeff non constant) à des récurrences linéaires à coefficients non constant de n'importe quel ordre. Dans cet exemple d'ordre 5 j'ai triché et choisi les coeff. de telle sorte à éliminer les facteurs qui contenaient exp(Pi) pour faire ressortir phi.
@+
Benoit -
C'est pas moi qui te l'ai PDFisé ce papier, si ? Je ne m'en souviens pas alors.
En tout bas je te renouvelle mes félicitations pour ton travail soutenu ! -
Merci encore Gilles pout ton aide précieuse qui m'avait permis de faire connaitre une première ébauche des résultats mais j'ai encore été plus loin depuis. J'ai donc amélioré cette version de présentation grâce à un ami américain qui me PDF-ise tout sur demande. Un preprint sera en ligne bientôt sur le site de N.J.A. Sloane.
Odzylko a dit :
"Linear recurrences with constant coefficients have nice and complete theory. That is no longer the case when one allows coefficients that vary with the index. This is not a fault of mathematicians in not working hard enough to derive elegant results, but reflects the much more complicated behaviour that can occur. The simplest case is when the recurrence has finite number of terms and the coefficients are polynomials in n."
So I guess I found an elegant result for the simplest case ! -
Benoit... the Sloane addicted !
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Au fait il y a la "e-party" pour la future 100.000 ème suite sur son site. Je m'en va boire une bière et me faire photographier. Tapez fort sur Google : "OEIS 100K e-party"
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bravo pour la relation entre nombre d'or et fct gamma !!!!
si qq'un connait où je peux avoir plus d'infos sur le nombre d'or qui est intéressant, me le dire
merci à tous -
Merci pour l'intérêt. Et avec "lim" ce sera mieux :
$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n^{(2\alpha+2\beta)}}{5\,u_{n}}= \frac{{\Phi}^{((\beta-\alpha)\sqrt{5})}}{\sqrt{5}^{(\alpha+\beta)}}\,\Gamma(2\alpha+2\beta+1)$$ -
formule très originale bravo
j-c -
J'aimerais bien avoir la démonstration de cette curieuse formule à partir du théorème de Gauss sur la fonction digamma
Merci
Si possible l'envoyer à mon addressel
jean-claude
[Carl Friedrich Gauss (1777-1855) prend toujours une majuscule. AD] -
A JJ
j'ai vérifié la formule donnant phi à partir de la fonction gamma
comment la démontrer? faut-il passer par la fonction béta?
merci
cordialement -
bonjour
la relation donnée par JJ (il y a sept années) se démontre avec la relation de Gauss entre le produit
Gamma(1/n).Gamma(2/n).......Gamma[(n-1)/n)]
et un produit comprenant pi et une valeur particulière de Gamma fonction de n
je propose une autre relation faisant intervenir le nombre d'or k et donc la fonction Gamma
(elle n'est guère plus exploitable que celle de JJ) soit:
k = 2.rac{1 - pi²/[Gamma²(1/5).Gamma²(4/5)]}
on la démontre en utilisant le rapport trigonométrique cos(pi/5) = k/2
et la formule des compléments : Gamma (1/n).Gamma(1 - 1/n) = pi/sin(pi/n)
cordialement
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