R^3 structure de corps
dans Les-mathématiques
Je crois qu'il est impossible de munir R^3$ d'une structure de corps.Est-ce vrai?Pourquoi?
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Si $K$ est une extension de $\R$ de degré 3, c'est une extension finie donc algébrique sur $\R$, qui est un corps de caractéristique 0, donc séparable, alors avec le théorème de l'élément primitif, $\exists x \in K$ tel que $K = \R[x]$ et le poynôme minimal de $x$ est de degré 3.
Mais un polynôme de degré 3 n'est jamais irréductible sur $\R$ donc ne peut pas être le polynôme minimal de $x$. Contradiction.
Alain
Si je me souviens bien, les corps non commutatifs K' sur un corps K sont de dimension n², et le centre de K' est un corps commutatif de dimension n sur K.
Ca permet donc de retrouver Frobénius, puisque le seul surcorps commutatif de R est C (de dim. 2), il ne peut y avoir de corps non commutatifs que de dim 4.
Par contre, sur Q, vu qu'il existe des extensions algébriques (donc commutatives) de Q de tout degré, on a des corps non commutatifs sur Q de dim n² pour tout n (on les construit un peu comme les Quaternions sur R, en "tordant" C).
On trouve la démo de Frobénius dans les exercices d'algèbre du Monnier, le Perrin, enfin un peu partout. Les théorèmes sur les corps non commutatifs que j'ai mal cités sont sur un bouquin de Blanchard (Corps non commutatifs). Ou dans un TER qui traîne quelque part sur ce forum.
Est-il possible d'avoir un isomorphisme de corps (commutatifs) entre un corps $k$ et un sur corps strict $K$ de $k$ ?
Je crois qu'il est impossible de munir R^3 d'une structure de corps.Est-ce vrai?Pourquoi?
si on peut !! R^3 est un ensemble en bijection avec R donc suffit de transporter la structure de corps de R avec cette bijection !
Cyril : je veux pas dire de bêtise (il est tard et j'ai eu une journée mortelle), mais si tu prends K(X) et P un élément de K(X) pas trop pourri, K(P) doit être un sous-corps de K(X) isomorphe (ou, si tu préfères, K(X) est un surcorps de K(P))
je crois que la question est : qu'il est impossible de munir R^3 d'une structure de corps telle que ..........
Amicalement
Admettons que pour cette strucure un contre-exemple puisse être donné.
Je vais en fait préciser ma question:
J'ai deux sous corps de $\R$ non dénombrables , l un étant strictement inclus dans l'autre. Peuvent-ils être isomorphes (en tant que corps) ?
(Qu'est-ce qu'on ferait pas pour faire remonter un message !!!)
lolo, je ne comprend pas ton argument quand tu dis :
"
si on peut !! R^3 est un ensemble en bijection avec R donc suffit de transporter la structure de corps de R avec cette bijection !
"
Ne faut t il pas que ta bijection preserve la structure de corps ? une simple bijection ne garantit rien ?
x*y=f(f^-1(x)*f^-1(y))
^oc^
exemple : on peut munir $\N$ d'une structure de corps!
c'est délirant non!
Amicalement