Dur d'aider ma fille sur la factorisation...
Bonjour à tout le monde,
46ans et mes cours de maths loin derrière moi...
Aujourd'hui ma fille doit travailler sur la factorisation d'expression, tout un programme pour moi!
Donc je suis en franche galère et soumet à votre perspicacité les 2 problèmes que je n'arrive pas à résoudre :
Le 1er factoriser (6x+3)-(x-4)(2x+1)
Le second 12x^2-3+(2x+1)^2
Si une bonne âme peux m'aider en me donnant le detail pour obtenir le résultat, cela me permettrait (je l'espère...) de comprendre et ainsi prendre le relais auprès de ma fille pour lui expliquer.
Merci à tous d'avance
46ans et mes cours de maths loin derrière moi...
Aujourd'hui ma fille doit travailler sur la factorisation d'expression, tout un programme pour moi!
Donc je suis en franche galère et soumet à votre perspicacité les 2 problèmes que je n'arrive pas à résoudre :
Le 1er factoriser (6x+3)-(x-4)(2x+1)
Le second 12x^2-3+(2x+1)^2
Si une bonne âme peux m'aider en me donnant le detail pour obtenir le résultat, cela me permettrait (je l'espère...) de comprendre et ainsi prendre le relais auprès de ma fille pour lui expliquer.
Merci à tous d'avance
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Réponses
On factorisera par étapes.
Dans le premier, tu peux d'abord factoriser 6x+3.
Dans le deuxième, commence par factorsier $12x^2-3$ en un produit de trois facteurs...
Pour le 2 c'est ce que je ferais, mais pour le 1 il y a une astuce : (6x+3) = 3 ( à completer) !
En effet, mais franchement, je n'ai pas vu le 12x2-3 !
Clairement mieux vaut faire des calculs corrects ( je sais qu'il y a beaucoup de fautes dans mes phrases...) que de perdre son temps avec ce genre d'astuces.
Car ces astuces ne sont pas évidentes pour grand monde autant que je me souviennes de mes années d'études.
Chercher trop longtemps ce genre de choses revient à ne pas acquérir une dextérité suffisante, qui manquera par la suite.
Pour la deuxième question, on ne cherche pas à deviner le facteur commun, et on suit le conseil de Jacquot, après il faut tout de même avoir quelques connaissances en identités remarquables.
Eh bé, ça assure pas les papis !
C'est une règle simple pour un prof : si tu dois réfléchir ne serait-ce qu'un instant, c'est que c'est trop dur pour tes étudiants :-).
Développer pour factoriser ensuite est très souvent une mauvaise idée.
On peut couper la poire en deux tu vas me dire.
Dans l'exo:
12x^2-3+(2x+1)^2
On ne voit pas bien, à priori, ce qu'on pourrait factoriser hormis $2x+1$ ou $(2x+1)^2$. Ce qui veut dire que $-1/2$ doit être une racine de $12x^2-3$. Le problème est que dans les classes où on donne ce type d'exercice on ne sait pas diviser un polynôme par un autre. (trouver le quotient et son reste):-D
Dans la boîte à outils, les trois ingrédients dont il faut user et abuser sont : la distributivité de la multiplication sur les additions/soustractions, les identités remarquables et la factorisation des "petits" entiers. Si cela ne vient pas rapidement, il faut s'entrainer à reconnaître des expressions ayant une forme assez caractéristique et s'entraîner à les manipuler.
Le coup des racines évidentes peut aussi être utile, mais je ne suis pas certain que pour quelqu'un qui a des difficultés avec l'utilisation des outils précédent ce soit très évocateur, et ceux qui savent bien s'en servir devraient aussi parvenir à la factorisation recherchée sans y avoir recours.
s'agit-il d'un exercice donné en classe de quatrième, troisième, ou seconde ?
pour un élève de 4ème, je veux bien que l'on puisse parler d'exercices de "virtuosité" mais pour un élève de seconde, cela me paraît exagéré !
Bonne nuit à tous !
C'est bien dommage, car ils entraînent les élèves à chercher et à persévérer (sans abandonner immédiatement) un exercice dont la "consigne" est simple à comprendre.
Comme le souligne Jaybe, les polynômes à factoriser sont conçus pour être factorisés relativement rapidement, en s'aidant de l'une ou l'autre des techniques suivantes, en les combinant éventuellement : facteur commun, identités remarquables et/ou regroupement de termes.
Je serais plus circonspect sur la recherche de racines, beaucoup d'élèves n'ayant pas fait le rapprochement entre racines et facteurs.
C'est comme tout : avec un bon entraînement, un élève normalement constitué arrive à factoriser ce qu'on lui demande, généralement en quelques minutes.
À titre d'exemple, bien que plutôt simple, la factorisation suivante laisse parfois les élèves bouche bée : factoriser $A= xy + x + y + 1$.
ca les interpelle , et ca cogite, quelque soit la seconde
Si personne n'y arrive, bah! mettez x en facteur dans les deux premiers, ca passera le temps ...
et alors là , ca écarquille les yeux dans la salle
Le 1er factoriser (6x+3)-(x-4)(2x+1) = 3(2x+1)-(x-4)(2x+1) = ...
Le second 12x^2-3+(2x+1)^2 = 3(4x^2-1)+(2x+1)^2=3 ((2x)^2-1)+(2x+1)^2 = ...
Tu m'étonnes que cela les laisse bouche bée.
Les exemples de factorisations qui reviennent le plus souvent sont des exemples où on a une somme et chaque terme de la somme a un facteur qui est commun.
Avec cet entrainement quand tu vois: $xy+x+y+1$ tu te demandes bien quel facteur en commun partagent $xy,x,y,1$ hormis $1$. :-D
Mais si on évite d'aborder la question frontalement et qu'on suit le conseil de Jacquot et qu'on prend un détour... tout fini par s'éclairer comme quoi le meilleur chemin n'est pas toujours celui qu'on s'imagine le plus court. B-)-
PS:
Si on a l'esprit un peu tortueux on peut deviner la factorisation.
En effet, si on fait $y=0$ on obtient $x+1$ ce qui laisse présager le fait que cette expression se factorise en $(1+x)P(y)$ où $P$ est un polynôme qui vaut $1$ en $0$. Le plus simple de ces polynômes est $1+y$
Et la factorisation serait donc: $(1+x)(1+y)$ et on vérifie en développant que c'est bien égal à $1+y+x+xy$ :-)
(c'est tortueux, je vous l'avais dit)
En ce qui me concerne, mon message n'avait pas pour but de donner une indication à Oribat, beaucoup d'intervenants l'ont fait avant moi.
Je voulais juste en profiter pour vilipender, une fois de plus, les nouveaux programmes et les mentalités qui en découlent dans l'enseignement des mathématiques au lycée aujourd'hui.
N'empêche, toutes ces factorisations ont...un facteur commun : bien s'entraîner, c'est en général nien suffisant pour mener à bien n'importe quelle factorisation de lycée.
Quant à l'exemple que j'ai donné (et que je donnais en lycée il n'y a pas encore si longtemps), il venait en application de la technique appelée "groupement de termes", comme l'a indiqué AP. Quand on l'explique aux élèves, et qu'on leur montre un exemple ou deux, ils y arrivent sans problème. Ça peut leur éviter de s'arracher les cheveux dans certaines résolutions d'équations comme par exemple $x^3 + 8 x^2 - x - 8 = 0$.