Matrice de symétrie par rapport à un plan

Bonsoir,
Il s'agit de la symétrie par rapport au plan d'équation $x+3y+2z~\color{red}{\mathbf{=0}}$, soit, mais parallèlement à quelle droite ?

Bonjour, la question qui vient après serait de démontrer (sans calcul) que le polynôme caractéristique de la matrice ci-dessus est le polynôme palindromique $$X^3-X^2-X+1.$$
Et pour piéger le jeune taupin, on lui demande d'écrire la "matrice finale" de la symétrie orthogonale par rapport au plan $x+3y+2z=1$.

[Prière de respecter l'orthographe des mots en "ique". Merci. AD]

Le plus simple est de poser $MA=B$ qui donne $M=BA^{-1}$
où M est la matrice cherchée, A une base adaptée et B l'image de cette base.
Dans ton cas, je prendrais
$$
A=\begin{pmatrix}1&3&-2\\3&-1&0\\2&0&1\end{pmatrix}\qquad
B=\begin{pmatrix}-1&3&-2\\-3&-1&0\\-2&0&1\end{pmatrix}
$$
Cordialement.

Prends la propriété classique : les colonnes de $M$ sont les composantes des images des vecteurs de base.

Il faut 3 vecteurs. 3e colonne : (0,0,-1).

Ah, misère!

Oui. Ouf.
A propos, ton dernier plan s'appelle plan d'équation $z=0$ ou plan $Oxy$.

Le mot « vectorielle » dans « réflexion vectorielle » ne s'accorde pas bien avec la constante $1$ dans l'équation de $P$, $x+y+z=1$, qui définit un plan affine. On s'attend plutôt à devoir déterminer les coordonnées de l'image d'un point $(x,y,z)$ de l'espace affine $\R^3$ par la réflexion affine de plan $P$.

Il y a trop d'interprétations possibles :

• soit tu voulais écrire $x+y+z=0$ et tout va bien ;
• soit tu cherches, comme étape de la détermination de la réflexion affine par rapport à $P$, la matrice de la réflexion vectorielle par rapport au plan vectoriel d'équation $x+y+z=0$ ;
• soit tu n'as pas compris qu'une réflexion affine n'a pas de matrice, du moins qu'elle n'est pas déterminée par une matrice $3\times3$ ;
• soit tu considères $\R^3$ comme l'hyperplan d'équation $t=1$ de $\R^4$, auquel cas une application affine est bien déterminée par une matrice $4\times4$ de la forme $\left(\begin{smallmatrix}A&V\\0&1\end{smallmatrix}\right)$, mais c'est peu probable (si tu ne comprends pas cette phrase, oublie-la).

Quoi qu'il en soit, ta base est intéressante mais pourquoi l'as-tu choisie comme ça ? Quelles propriétés ont ces vecteurs par rapport au plan $P$ ? Que peux-tu en déduire pour leur image par la réflexion... au fait, quelle réflexion exactement ?

Dis-nous : ta base est très bien mais c'est une base de quoi ? Pourquoi l'as-tu choisie plutôt qu'une autre ?

Pardon, ce n'est pas très clair, je reprends les données. On s'intéresse à la réflexion vectorielle de plan $P$ d'équation $x+y+z=0$.

Tu donnes trois vecteurs dans cet ordre : $e_1 = \frac{1}{\sqrt 3}(1,1,1)$ puis $e_2=\frac1{\sqrt2}(1,-1,0)$ et $e_3=\frac1{\sqrt6}(1,1,-2)$. Puis tu expliques que les deux premiers t'étaient donnés et que tu as trouvé le troisième. Cela me surprend un peu : pas que tu aies trouvé le troisième en faisant un produit vectoriel mais qu'on t'ait donné les deux premiers. Je suis prêt à parier que ce qu'on t'a donné, ce sont les deux derniers, $e_2$ et $e_3$.

D'où la question : quelle relation entre $e_2$, $e_3$ et $P$ ? Qu'en déduit-on à propos des images de $e_2$ et $e_3$ par notre réflexion ? (Au fait, ce serait bien de lui donner un nom : tu veux bien baptiser cette réflexion s'il te plaît ?)

Ensuite : quelle relation entre $e_1$ et $P$ ? Qu'en déduit-on sur l'image de $e_1$ par notre réflexion ?

À présent, tu connais l'image d'une base orthonormée par notre réflexion (une base de quoi au fait ?). Que reste-t-il à faire ?