Vocabulaire, une algèbre ?
Salut la communauté.
Ce matin j'ai noté une remarque du prof et qui explique que "si on prend une algèbre...". J'aurais aimé savoir qu'est-ce qu'"une algèbre" ? Pouvez vous m'en parlez car sur google je ne trouve que des sujets relatifs à la théorie algébrique qui est très vaste.
Ce matin j'ai noté une remarque du prof et qui explique que "si on prend une algèbre...". J'aurais aimé savoir qu'est-ce qu'"une algèbre" ? Pouvez vous m'en parlez car sur google je ne trouve que des sujets relatifs à la théorie algébrique qui est très vaste.
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Réponses
e.v.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Algèbre_sur_un_corps
On peut aussi citer comme algèbre l'espace des fonctions continues de [0,1] dans R (muni des opérations usuelles)
e.v.
Quoi qu'il en soit vos liens sont supers ! Et oui wikipédia et mon ami, c'est mon prof particulier gratuit (bien que je fais des petits dons régulièrement xD).
Je me souviens que mon prof a dit, au détour d'un explication :"Oui là ça correspond à un cas particulier quand on peut multiplier des vecteurs, on appelle ça une algèbre, d'ailleurs "tout ça" c'est une algèbre bref !!"
Une algèbre alors c'est une loi interne KxK-->? (pas celle axiomatique de l'addition) mais une autre défini sur un K-espace vectoriel ? (Je fais exprès de m'avancer en disant ça, si la réponse était dans un lien et que je ne l'ai pas vu, un copier coller et je sors en m'excusant ).
Se pose alors le problème (fondamental en... algèbre ?) de l'éventuelle commutativité de l'anneau (de son produit).
Exemples typiques : une algèbre de polynômes (algèbre commutative), une algèbre d'endomorphismes linéaires (algèbre NON commutative).
Je préviens tous les jihadistes du purisme absolu :
oui, ce que je viens d'écrire n'est ABSOLUMENT PAS rigoureux, alors mollo sur les fatwas, svp (:P)
@Robespierre : Ce que tu désigne par algèbre est en fait une algébre associative unitaire.
Comme les algèbres non associative ou non unitaires ne courent pas les rues, on a maintenant tendance à prendre ce que tu dis comme définition.
De la même manière, je n'imagine pas un anneau non unitaire ni, depuis une vingtaine d'années, un corps non commutatif (Hamilton s'en retournerait dans sa tombe :-()
En fait, je pense que, ne serait-ce que 5 ans en arrière, je ne me serais pas privé d'expliciter lourdement de tels détails, mais, la quarantaine passée, je n'en ai plus la force :)o
C'est un peu pour cela que j'ai choisi un tel avatar, par esprit de contradiction (:P)
De toute façon tu l'as fort bien compris, puisque tu as la gentillesse de ne pas partir sur l'explicitation de ces détails. B-)-
Mais, et tu as tout à fait raison (tu), il faut bien rappeler, même un minimum, que de tels détails existent ;-)
Me concèderas-tu que, comme réponse "vulgarisée", mon blabla peut quand même tenir le macadam ? :-D
Autre question : faut-il que nous allions dormir, vu l'heure ? :-D
C'est un A-espace vectoriel muni d'une multiplication si A est un corps.
En parcourant le net j'ai d'ailleurs moi même trouver une définition et j'étais venu vous la montrer :
On appelle 'algèbre' tout espace vectoriel muni d'une loi multiplicative, associative et distributive à gauche et à droite par rapport à l'addition.
Une algèbre est donc un espace vectoriel qui est, de plus, un anneau.
C'est tirée du site de Giles Dubois, je l'aime beaucoup sur ce site ^^.
QUESTION RESOLUE, 20/20, Merci à tous qui ont répondu après mon commentaire d'il y a 15h.
Si j'essaye de comprendre, l'algèbre en elle-même est alors l'image de ce morphisme, l'anneau des "scalaires" serait l'anneau de départ, me trompe-je ?
Si $\mathcal{A}$ est une $A$-algèbre associative unitaire, alors le groupe additif $\mathcal{A}$ est un anneau pour la loi produit, et l'application
$$\lambda\in A\mapsto \lambda\cdot 1_{\mathcal{A}}$$ est un morphisme d'anneaux, dont l'image commute aux éléments de $\mathcal{A}$.
Inversement, si on a un morphisme d'anneaux $\iota: A\to B$ dont l'image commute aux éléments de $B$, alors $B$ peut être canoniquement muni d'une structure de $A$-algèbre associative unitaire. En effet, la loi externe $(\lambda, x)\in A\times B\mapsto \lambda\cdot x=\iota(\lambda)x$
munit $(B,+)$ d'une structure de $A$-module, pour laquelle le produit dans $B$ est $A$-bilinéaire.
Les deux constructions sont inverses l'une de l'autre.
La bonne définition d'une $A$-algèbre est celle donnée par Amédé: c'est un $A$-module muni d'une application $A$-bilinéaire. Point barre. Ite Massucloutus est ! :-D
$k$ est un corps. "$A$ est une $k-$algèbre" est-il équivalent à la donnée d'une morphisme non-nul $k \to A$ ?
On pourrait très bien imaginer un anneau $A$ contenant un corps commutatif $K$ non inclus dans le centre (au hasard, n'importe quel anneau de quaternions).
D'ailleurs une petite question : quels sont les exemples les plus intéressants d'anneaux non-commutatifs ?
Ta question est assez vaste, et je pense que tu auras autant de réponses que d'algébristes.
Moi, je trouve que les algèbres centrales simples, en particulier celles qui sont à division, jouent un rôle important, et ont un don d'ubiquité assez frappant.
Il a aussi l'exemple de l'algèbre tensorielle (sur un espace vectoriel ou un module), qui est une algèbre associative libre, dont toute algèbre associative est un quotient, etc.
Je pourrais continuer comme ça pendant 4 pages :-D