Premier théorème d'isomorphisme-quotienter

Ben oui : $1+1=0 \pmod{2}$.

Eh bien, $2k= \underbrace{2+2+\cdots+2}_{k\ \text{termes}}=\underbrace{0+0+\cdots+0}_{k\ \text{termes}}=0\pmod2$ pour $k$ positif et on multiplie $0$ par $-1$ pour $k$ négatif.

Notons . la loi des groupes et 1 l'élément neutre. Prenons un élément $g \in G$ et $g' \in \ker(f)$. On a $f(g.g') = f(g).f(g') = f(g)$. Par conséquent, l'ensemble $[g] := \{ g.g' \mid g' \in \ker(f) \}$ n'a qu'une seule image par $f$, à savoir $f(g)$ (mais aussi $f(g.g')$ pour n'importe quel $g'$, on peut juste en prendre un).

A présent, on peut donc regarder une application $f : G \to H$ comme une application $f' : G/\ker(f) \to H$.
Les éléments de $G/\ker(f)$ sont les classes $[g]$. On a $[g] = [h]$ si et seulement si il existe un élément $k \in \ker(f)$, $gk = h$. On pose $f'([g]) = f(g)$. Ceci est bien défini à cause de ce que j'ai dit avant.

Finalement si $f'([x]) = 1$, alors, $f(x.k) = 1$ par définition, avec $k \in \ker(f)$. Mais alors $f(x) = 1$ et donc $x \in \ker(f)$ !
Maintenant on a $[x] = [1]$ (prends $k=x$ plus haut) ce qui montre que tout les éléments de $\ker(f)$ sont "tués" dans le quotient.

Tu peux prendre le morphisme $f : G = \mathbb Z/12 \mathbb Z \to \mathbb Z/2 \mathbb Z = H, [n]_{12} \mapsto [n]_{2}$. Quel est le ker ? Quel est $G/H$ ? A quoi ressemble le morphisme $f'$ ?

La relation d'équivalence qui est reliée à un quotient d'un groupe G par un sous-groupe H est définie de la sorte:

$x,y$ appartenant à $G$ sont équivalents si et si seulement si $x^{-1}y$ appartient à $H$

Si $e$ est l'élément neutre de $G$ on a bien que tout $x$ de $H$ est équivalent à $e$ en effet, on applique la définition:

On a $e^{-1}x=ex=x$ qui appartient à $H$.

Tout élément de $H$ est donc équivalent à l'élément neutre après "passage au quotient".
Ou pour le dire autrement, $H$ est exactement une classe de cette relation d'équivalence et elle contient $e$.


PS:
Attention, quand on quotiente par n'importe quel sous-groupe $H$ on n'obtient pas nécessairement un groupe dont la structure est compatible avec celle de $G$, il faut et il suffit que le sous-groupe $H$ soit distingué dans $G$ pour que cela soit le cas.