Groupes monogènes, groupes cycliques

Jaujac · May 2015

Bonjour,
J'étudie les leçons de l'agrégation interne de math et pour la leçon 101 : Groupes monogènes, groupes cycliques. Exemples , le jury dans son rapport conseille de donner des exemples autres que dans Z (sous groupes de (K[X],+), de (R,+), etc.). Quel est l’intérêt de ces autres exemples dans cette leçon et quels exemples pertinents donner ?

zephir · May 2015

Bonsoir,
Si le groupe $(G,+)$ est monogène ou cyclique et $a$ un générateur, l'application $f: n\mapsto na$ est un morphisme surjectif de $\Z$ sur $G$. Il en résulte qu'un tel groupe est isomorphe à $Z$ ou à $\Z/n\Z$ pour un certain $n\in \N$. Il y a donc essentiellement deux types de tels groupes, $\Z$ si $f$ est injective et $\Z/\ker f$ si $f$ n'est pas injective. Par exemple, les sous-groupes discrets de $(\R,+)$ sont monogènes infinis, ceux de $K[X]$ dépendent de $K$. le cas $K$ fini est intéressant à étudier. Exemple : $(\Z/2\Z)[X]$.

Jer anonyme · May 2015

Ah ! $(K[X],+)$ donne un exemple de groupe infini sans sous-groupe cyclique infini (ou un groupe infini d'exposant fini).

Pour la peine, voici un secret bien gardé : le sous-groupe engendré par $10$ dans $(\Z/b\Z)^*$ gouverne le développement décimal de $a/b$ (si $\mathrm{pgcd}(a,b)=\mathrm{pgcd}(10,b)=1$). C'est essentiellement écrit ici.

bmf · April 2021

Bonjour,
Je cherche un bon développement pour cette leçon pour l'interne. Je ne vois que les sous-groupes de (R,+) mais c'est limite hors sujet (quel livre utiliser pour ce développement d'ailleurs ? J'ai repéré une jolie démonstration très simple sur internet mais pas de référence).
Merci d'avance et bon courage aux admissibles,
Benjamin.

Id Est · April 2021

Bonjour, par exemple le résultat classique suivant :

Soit $\mathbb{K}$ un corps. Alors tout sous-groupe fini de $\mathbb{K}^{*}$ est cyclique
(ou le cas particulier de $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$).

Cordialement,

bmf · April 2021

Merci, tu as une référence pour la démonstration ?

Id Est · April 2021

Bonjour, c’est archi-classique.
On peut le trouver dans Oraux X-ENS(Francinou-Gianella), dans le livre de G.Skandalis (pour l’agreg interne). Mais un peu partout en fait... Cela constituait quelques questions d’une des épreuves (très) récentes de l’ENS,qui avait pour thème la fonction de Dirichlet.

cuba · April 2021

Bonjour à tous
Je travaille justement la preuve dans le FGN.
On est d'accord que la question 1 est inutile car incluse dans la question 2 ?
119800

MrJ · April 2021

Formellement, le résultat de la question 1 est inclus dans le résultat de la question 2. Après, si l’énonce est posé comme ça, c’est peut-être parce que la solution proposée pour la question 2 utilise le résultat de la question 1.

Chaurien · April 2021

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1541816

bmf · April 2021

Bonjour,
Merci pour les informations. Je sais bien que c’est un résultat archi classique id est. Le sens de ma question était aussi de trouver une référence pour une belle démonstration (de préférence complète et sans erreurs) que je puisse exposer à l’oral. Je n’ai pas les livres dont tu parles même si je les ai déjà utilisés. Ce théorème ne se retrouve pas dans toutes les références en algèbre (Bouvier Richard en fait une démonstration partielle, je ne le trouve pas dans le Perrin, ni dans algèbre de Serge Lang par exemple).

raoul.S · April 2021

@bmf il y a cette preuve classique https://fr.wikiversity.org/wiki/Théorie_des_groupes/Automorphismes_d'un_groupe_cyclique#CyclicitéDansCorps utilisant l'indicatrice d'Euler.

Il y en a aussi une autre avec l'exposant d'un groupe abélien fini à chercher...

Bastien · April 2021

Bonjour,
Les FGN sont disponible en version numérique le jour J.

Il y a aussi l'étude de la structure de $(\Z/n\Z)^{\times} $ dans le Arithmétique et cryptologie de G. Bailly-Maître (chapitre 6).

L'étude de l'exposant d'un groupe abélien fini est faite dans le Gourdon (ex 10 du chapitre 1) elle permet d'arriver à la conclusion souhaitée.

Il y a aussi une preuve dans Le Frido, encore faut-il être à l'aise avec. (Théorème 6.155)

Je n'ai pas tous les livres sous la main mais je pense qu'on peut trouver ces résultats dans d'autres livres disponibles le jour J. Notamment les Rombaldi.

bmf · April 2021

Salut,
Effectivement, le Rombaldi en donne une démonstration page 16. Il en donne d'ailleurs deux démonstrations.
Merci pour les références précises, je vais regarder le Frido et le Gourdon. Je n'ai pas le Bailly-Maître même si j'aime bien le recul qu'il prend sur les notions qu'il aborde (en vidéo ;-).

chanig · April 2023

cuba a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2214476/#Comment_2214476

Bonsoir,

je remonte ce vieux post. Je pense faire ce développement si je suis dans l'obligation de choisir cette leçon. J'ai passé des heures à le travailler et je l'ai vu présenté par mes collègues.
Mais je me rends compte, que la question 1 n'est pas utile.
Vous confirmez qu'on peut ne pas la présenter ? Ou alors quelque chose m'aurait échappé...
Merci.

Il y a des développements plus simples, si on démontre les petits théorèmes de la leçon, mais je crains qu'ils ne soient trop courts ?
Je trouve cette leçon très difficile (c'est d'ailleurs pour ça que je suis sortie de la première épreuve démoralisée).

NicoLeProf · April 2023

Bonsoir Chanig, je te souhaite bon courage ! Pour ma part c'est demain le grand jour et je prie actuellement pour tomber sur cette leçon par exemple qui fait partie de mes préférées !

Car je peux démontrer en effet que $(\mathbb{Z}/p \mathbb{Z})^*$ est cyclique et je peux parler du groupe Diédral (ce sera mon développent d'ailleurs : le groupe des déplacements conservant un polygone régulier est cyclique et ainsi isomorphe à tout groupe cyclique de même cardinal et si j'ai le temps, je parlerai des anti-déplacements même si ce n'est pas le cœur du sujet) !

Ici, je confirme que la question $1$ n'est pas utile . On montre ceci :

-> il existe un élément d'ordre $q^\alpha$ dans $(\mathbb{Z}/p \mathbb{Z})^*$ en considérant un facteur premier $q^\alpha$ de $p-1=Card((\mathbb{Z}/p \mathbb{Z})^*))$ . Pour cela, on prend un $x \in (\mathbb{Z}/p \mathbb{Z})^*$ et on pose $y_x := x ^{(p-1)/q^\alpha}$ et on montre que $q^\alpha$ est l'ordre de $y_x$ .

-> On décompose ensuite $p-1$ en un produit de facteurs premiers et on montre par récurrence sur le nombre de facteurs premiers de $p-1$ qu'il existe un élément d'ordre $p-1$ dans $(\mathbb{Z}/p \mathbb{Z})^*$ . (On aura aussi besoin d'un lemme sur les ordres de deux éléments).

Plus d'infos ici, je trouve que c'est très bien expliqué : https://sandrine.caruso.ovh/pageperso/agreg/Z.pZ_cyclique.pdf .

OShine · April 2023

Id Est a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2214208/#Comment_2214208

Soit $\mathbb{K}$ un corps. Alors tout sous-groupe fini de $\mathbb{K}^{*}$ est cyclique
(ou le cas particulier de $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$).

Le Liret démontre ce résultat. La preuve est longue et difficile. Je crois qu'elle fait 2 pages et s'appuie sur plusieurs lemmes préliminaires.

chanig · April 2023

Merci Nicoleprof!

Bon courage pour demain.

Si tu as le temps, tu pourrais me dire si tu as une référence pour ton développement du groupe diédral ? (je ne pense pas modifier mon choix d'ici mardi.)

J'avais en effet vu le lien dont tu me parles.