Polynôme non nul
Bonjour,
Est ce quelqu'un pourrait m'aider pour cette question ?
Soit E un espace vectoriel reel de dimension finie n. Et soit (e1,....,en) une base de E, et a un élèment de E.
Posons P(t)= det(a + t.e1,....,a + t.en) où t est un réel.
Comment montrer que le polynôme P(X) est non nul ?
Merci
Est ce quelqu'un pourrait m'aider pour cette question ?
Soit E un espace vectoriel reel de dimension finie n. Et soit (e1,....,en) une base de E, et a un élèment de E.
Posons P(t)= det(a + t.e1,....,a + t.en) où t est un réel.
Comment montrer que le polynôme P(X) est non nul ?
Merci
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Réponses
On peut donc choisir $B=(e_1,e_2,\dots,e_n)$ et le déterminant cherché est presque le polynôme caractéristique de la matrice $n\times n$ dont les colonnes sont toutes égales aux coordonnées du vecteur $a$ dans la base $B$. C'est donc un polynôme de degré $n$.
Il est aussi possible de dériver $n$ fois $P$: on montre que $P^{(n)}$ est égal à $n!$.
$$P(t)=\det(a\otimes 1+t\, \mathrm{id}_E).$$ Prenons une nouvelle base orthonormée $(f_1,\ldots,f_n) $ telle que $f_1=a/\|a\|.$ La matrice représentative de l'endomorphisme $a\otimes 1+t\, \mathrm{id}_E$ dans cette base est triangulaire supérieure de diagonale $(\langle 1,a\rangle+t,t,\ldots,t)$ et donc si $a=a_1e_1+\cdots+a_ne_n$ alors $$P(t)=t^{n-1}((\langle 1,a\rangle+t)=t^{n-1}(a_1+\ldots+a_n+t).$$
Je chercherais un équivalent de $P(t)$ en $+\infty$.
e.v.
Tu voudrais dire que $P$ ne s'annule jamais ? Même pour $n$ impair ?
e.v.
Je te suis en ce qui concerne le raisonnement mais comment écrire la preuve (comment convaincre) ?
"Il faudrait qu'au moins deux colonnes soient linéairement dépendantes. "
Oui, mais il se pourrait que trois colonnes soient linéairement dépendantes (ou bien 5 ou k<n ou n).
(Heu, suis-je clair ?)
Il y a une solution simple qui est dans l'esprit (ou la même ?) de ce qu'a dit ev plus haut, avec l'équivalent de P(t) en $+\infty$ : suppose P(t) nul. En mettant t en facteur de chaque terme du déterminant (qui est une application continue) puis en faisant tendre t vers $+\infty$, regarde ce qu'il se passe.
Désolé de ne répondre que maintenant.
Merci pour vos réponses.
Il me semble que l'astuce du polynome caracteristique proposé par SL (je n'y ai pas pensé) me semble plus simple et naturel pour répondre à la quetsion.