Démonstration de Wiki de la DVS

Souki
Souki
dans Algèbre
Bonsoir à tous,

Dans la démonstration Wikipédia de la décomposition en valeurs singulières d'une matrice $M$ de taille $m \times n $, on déduit de l'égalité
$$
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
^tV_1^tMMV_1 & ^tV_1^tMMV_2\\
^tV_2^tMMV_1 & ^tV_2^tMMV_2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
D & 0 \\
0& 0
\end{pmatrix}
\end{align*}
$$
que $MV_2=0$. J'essaie de comprendre comment. La matrice $V$ étant orthogonale, je peux déduire de la comparaison des deuxièmes colonnes (ou des deuxièmes lignes) dans les deux matrices de l'égalité ci-dessus que $^tMMV_2=0$. Pourquoi alors on a $MV_2=0$ ?

Bien cordialement.

Réponses

  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Si on pose $A = MV_2$ que vaut $^tAA$ ? Quel rapport avec ton équation matricielle ? Enfin, la proposition : $ ^tAA = 0 \implies A=0$ est-elle vraie ?
  • Souki
    Souki
    Alors avec tes notations $^tAA = ^t V_2 (^tMMV_2)$, donc avec ma remarque que $^tMMV_2=0$, on peut dire que $^tAA=0$ ce qui implique que $A=0$ par un argument de rang.
  • Dom
    Dom
    Dit autrement, le carré scalaire de MV est nul (produit scalaire canonique), donc le carré de la norme associée est nulle et on applique une définition de la norme qui dit qu'alors MV est nul.
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Je préfère remarquer que :
    $^tAA = ^tV_2^tMMV_2 = 0 \implies A=MV_2 = 0$

    Car $A = (a)_{ij}, ^tAA = 0 \implies $Trace$(^tAA) = \sum_{ij} |a_{ij}|^2 = 0 \implies a_{ij}=0 \implies A=0$
  • Souki
    Souki
    Ou tout simplement utiliser le résultat connu que $rang(^tAA)=rang(A)$.
    Mais du coup, je ne comprends pas pourquoi $U_2MV_1=0$ ??
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