Groupes infinis

Oui c'est vrai.
Soit $G$ un groupe infini.
Soit il existe $x_1, x_2,...,x_n$, $n \in \N^{\star}$ tel que $<x_1, x_2, ...,x_n>$ soit infini auquel cas c'est un sous-groupe dénombrable.
Sinon, tu construis une suite de sous-groupes $(G_n)_{n\in \N}$ de la façon suivante $G_0=<x_0>$ ($x_0$ quelconque) et $G_{n+1}=<G_n \cup \{ x_{n+1} \}>$ où $x_{n+1} \notin G_n$ , c'est une réunion dénombrable et strictement croissante de sous-groupes finis, c'est donc un sous-groupe dénombrable.

Oui, un groupe engendré par une partie finie est au plus dénombrable (je n'utilise pas plus).
En effet, si $G$ est un groupe et si $A \subset G$, $<A>= \lbrace ~\prod_1^n{a_i^{\epsilon_i}} : n \in \N,~ \forall i~ a_i \in A, ~\epsilon_i \in \{-1;1\} ~\rbrace$ qui est un ensemble au plus dénombrable si $A$ est finie.