Lemme chinois

C'est plutôt une mauvaise preuve : elle ne parle que de groupe et pas d'anneau.
On peut faire beaucoup plus riche en explicitant les deux isomorphismes à l'aide des coefficients de Bézout et en parlant d'idempotents.

J'ajoute que dans au moins une leçon d'agrégation (interne ?) sur les groupes (et donc sans les anneaux) il faut savoir démontrer ce lemme qu'avec les groupes.

Évidemment, il faut, aussi dans cette leçon (pour savoir réagir face aux questions du jury) , savoir faire la demo. plus riche, qui utilise l'isomorphisme d' anneaux.

Ce sont deux notions différentes (le mot isomorphisme, seul, ne veut rien dire) à lier sans les confondre.

La démonstration de Piteux_gore est une reformulation (en moins bien à mon avis) de la classique démonstration qui consiste à considérer le morphisme $\Z\mapsto \Z/p\Z\times \Z/q\Z$ (d'anneaux ou de groupes, comme on préfère, mais anneaux c'est mieux) qui envoie l'entier $n$ sur le couple de ses classes modulo $p$ et $q$.

Il te manque la surjectivité de $f$. Pour celle-ci le mieux est d'utiliser une relation de Bezout $um+vn = 1$, qui te donne $xum+yvn = xum = x$ modulo $n$, et $xum+yvn = yvn = y$ modulo $m$.

Pour ta question 2), tu peux prouver que si tu as un diviseur commun, alors $\mathbb Z/n \times \mathbb Z/m$ n'est pas cyclique (par exemple parce qu'il y a un $r < mn$ qui annule tout le monde - peut-être que $ppcm(m,n)<mn$ te donne une idée de qui c'est)

Pourquoi parles-tu d'applications linéaires ? Tu vois des espaces vectoriels ici ? ::o

BMaths : a priori (enfin si, mais c'est ce qu'on essaie de prouver) tous les éléments de $\mathbb Z/n\mathbb Z \times \mathbb Z/m\mathbb Z$ ne sont pas de la forme $(\bar x, \bar x)$, ils sont de la forme $(\bar x, \bar y)$

Oui, exactement, et le but est de montrer que cette image est tout le monde (c'est la définition de surjectivité !)

Quelqu'un peut-il m'aider ?
D'avance merci

BMaths : bah tu viens de résoudre la question dans ton dernier message, je ne comprends pas ce qui te manque :-S

C'est bon pour la surjectivité.

Bonjour,
Puisqu'on a du temps devant nous en ce moment, pourquoi ne pas essayer de généraliser?

Proposition: Soit A un anneau commutatif et I, J deux idéaux de A avec I et J étrangers, i.e. I + J = A. Alors:
1°) Le produit IJ des deux idéaux est égal à leur intersection.
2°) Le morphisme naturel f de A dans l'anneau-produit A/I x A/J qui envoie x sur ses deux classes est surjectif.
3°) On a Ker f = IJ.
D'où l'isomorphisme d'anneaux de A/IJ avec A/I x A/J.

On utilise pour cela l'existence de i dans I et j dans J avec i + j = 1.
Par exemple pour 1°: soit x dans l'intersection, on écrit alors x = xi + xj, donc x est dans IJ.
Cordialement.

Bonjour,
une question qui permettrait de simplifier (peut-être ?) la preuve.

Puisque $f$ est un morphisme de $\mathbb{Z}$ dans $\mathbb{Z}_n\times\mathbb{Z}_m$, le théorème de factorisation assure :
1) l'existence et l'unicité d'un morphisme $\bar{f}$ de $\mathbb{Z}/\mathcal{R}$ dans $\mathbb{Z}_n\times\mathbb{Z}_m$ tel que $f=\bar{f}\circ \pi$ ;
2) l'existence et l'unicité d'un morphisme injectif $\bar{f}$ de $\mathbb{Z}/\ker(f)$ dans $\mathbb{Z}_n\times\mathbb{Z}_m$ tel que $f=\bar{f}\circ\pi$ ;
3) l'existence et l'unicité d'un isomorphisme $\bar{f}$ de $\mathbb{Z}/\ker(f)$ dans $Im(f)$ tel que $f=\bar{f}\circ\pi$.

C'est le 2) qui nous intéresse ici :
Le morphisme $\bar{f}$ de $\mathbb{Z}/nm\mathbb{Z}$ dans $\mathbb{Z}_n\times\mathbb{Z}_m$ est injectif (puisque $\ker(f)=\mathbb{Z}/nm\mathbb{Z}$).
Et comme $\mathrm{card}(\mathbb{Z}/nm\mathbb{Z})=\mathrm{card}(\mathbb{Z}_n\times\mathbb{Z}_m)$ alors on a une injection entre deux ensembles finis de mêmes cardinaux, c-à-d une surjection.
Donc finalement, un isomorphisme.

Est-ce que cela fonctionne ?

[Pour la visualisation du propos. ;-) AD] $$
\xymatrix{
\mathbb Z \ar[r]^-{f} \ar[d]_{\pi}& \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \\
\mathbb{Z}/\ker f \ar[ru]_{\bar f}
} $$

Super, merci beaucoup !
Et merci AD pour l'intégration de l'illustration

[À ton service. :-) AD]