Magma libre chez Bourbaki

curiosity · June 2015

Bonjour,

Voici mon problème : je ne comprends pas bien la construction chez Bourbaki (dans Algèbre, ch. 1 à 3,page I.77, §7.1 "Magmas libres") d'un magma libre :

Bourbaki a écrit:

On définit par récurrence sur l'entier $n \ge 1$ une suite d'ensembles $M_n(X)$ comme suit : on pose $M_1(X) = X$ ; pour $n \ge 2$, $M_n(X)$ est l'ensemble somme des ensembles $M_p(X) \times M_{n-p}(X)$ pour $1\le p\le n -1$.

(Bourbaki entend par "ensemble somme" la réunion disjointe : OK pour moi à ce niveau).

Si je construis pas à pas :
- $M_1=X$ ;
- n=2 : $M_2=M_1(X)\times M_1(X)= X\times X=X^2$ ;
- n=3 : $M_3$ est la réunion disjointe de $M_1\times M_2 = X\times X^2= X^3$ et $M_2\times M_1= X^2\times X= X^3$, ce qui est donc de la forme $X^3\times \{1\} \cup X^3\times \{2\}$ ;
- etc.

J'ai l'impression que ce n'est pas exactement ce qu'on voudrait obtenir, mais je n'arrive pas à voir ce qui cloche dans mon interprétation... Pourriez-vous m'aider, svp ? :-)

GaBuZoMeu · June 2015

Pourquoi ce n'est pas ce que tu voudrais obtenir ? On a $M_3$ comme réunion disjointe de l'ensemble des $x(yz)$ et de l'ensemble des $(xy)z$, et c'est bien ce qu'on veut.

curiosity · June 2015

Je ne le vois pas.
Pour moi, $M_3=(X^3\times \{1\})\cup (X^3\times\{2\})$, donc c'est l'ensemble des éléments de la forme $(xyz,1)$ ou de la forme $(xyz,2)$... Non ?

zephir · June 2015

Bonjour,
Attention, la multiplication n'est pas forcément associative : $(xy)z\ne x(yz)$. Un Magma c'est très général.

GaBuZoMeu · June 2015

Tu touilles la description de Bourbaki à ta sauce, et après tu n'y vois plus rien. Pourtant la description originale de Bourbaki est limpide ! On peut la traduire en terme d'arbres binaires dont les feuilles sont étiquetées par les éléments de $M$
$x(yz)$ désigne un élément de $M_1\times M_2$
$(xy)z$ désigne un élément de $M_2\times M_1$
Tout élément de $M_n$ s'écrit de manière unique $u,v$ avec $u\in M_k$ et $v\in M_{n-k}$ avec $1\leq k\leq n-1$.

curiosity · June 2015

zephir écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1113587,1113629#msg-1113629
[inutile de recopier l'avant dernier message. Un lien suffit. AD]

Ah ben voilà, c'est ça qu'il fallait me dire (enfin je comprends bien maintenant que c'est aussi ce qui m'a été dit avant, mais je n'avais pas vu l'argument d'associativité... ;-)).

OK, alors en fait, mon "erreur" (ou ma méprise) vient de ce que j'assimile $X^2\times X$ et $X\times X^2$ via $X^3$. C'est vrai si l'on considère les ensembles sans structure, i.e. on peut tout à fait identifier $(x,(y,z))$ et $((x,y),z)$, mais si l'on veut mettre une loi sur ces structures (loi de magma), il faut faire attention aux propriétés de la loi de magma sur $X$, c'est ça ?
Si on revient à notre Bourbaki, ici, il part d'un ensemble $X$ sans structure. Donc sa construction ne fait pas intervenir de magma. Mais alors, est-ce que c'est sur les $M_k$ qu'on doit mettre des structures pour que ça marche ?
Ce que je veux dire, c'est que je comprends l'argument d'associativité, mais il faut l'appliquer à quelle structure finalement ?

curiosity · June 2015

@GaBuZoMeu : merci pour cette attaque qui me va droit au coeur... :-(
Je ne touille rien, j'essaie de comprendre, alors plutôt qu'admettre comme 99% des gens qui lisent des bouquins de maths en me disant "oui, j'ai compris, j'ai compris", je prends une feuille et un crayon et je mets sur le papier les lignes qui manquent au néophyte... (A moins qu'il faille s'interdire de lire Bourbaki dans le texte tant qu'on n'a pas fait une thèse ??)

Pour en revenir à ta réponse, je ne vais pas chercher à traduire en termes d'arbres binaires (ce qui va me demander des définitions et des résultats en plus !), et je suis désolé mais je ne trouve pas ça limpide si l'argument n'est pas donné.

Je comprends bien que tu notes $x(yz)$ à la place de $(x,(y,z))$ (il faut déjà être un peu avancé pour voir ça ainsi, moi je suis au ras des pâquerettes, désolé ;-)), donc tu dis $x(yz)\neq (xy)z$, et pourtant comme je l'ai dit plus haut, si j'utilise la notation en termes ensemblistes, on a bien $(x,(y,z))$ et $((x,y),z)$ tout à fait identifiable puisque $X^2\times X$ et $X\times X^2$ sont en bijection par exactement cette application (sauf erreur de ma part)... ?
En fait, en notant $x(yz)$, c'est comme si l'on écrivait dans un magma, mais ici c'est purement ensembliste. D'où mon incompréhension !
Donc il me manque une marche quelque part... ?

Blueberry · June 2015

Justement, la construction de Bourbaki permet de définir une structure alors qu'il n'y avait rien avant.

Un élément de $M_3(X)$ c'est un élément du type :
$(xy)z$ avec $xy \in M_2(X)$ et $z \in X$
ou bien $x(yz)$ avec $x \in X$ et $yz \in M_2(X)$

Et note que ces deux éléments sont forcément différents par construction car $(xy)z \in M_2(X) \times X \times \lbrace 2 \rbrace$ alors que $x(yz) \in X \times M_2(X) \times \lbrace 1 \rbrace$

En fait tu as tout autant de résultats possibles différents que de parenthésages différents :

avec $x, y, z, t$ tu peux faire comme produits si tu les utilises tous à chaque fois $(xy)(zt)$ ou $x((yz)t)$ ou $x(y(zt))$ ou $((xy)z)t$ ou $(x(yz))t$

curiosity · June 2015

OK, je comprends mieux tout ça. J'ai été bloqué par l'histoire des produits, même si je comprends bien que les éléments sont différents puisqu'on fait des unions disjointes...

Merci pour toutes les réponses qui m'ont bien aidé !

Foys · June 2015

@curiosity
Soit $X$ un ensemble. Soit $Y$ un ensemble quelconque, $\sigma: Y^2 \to Y$ une application quelconque et $f:X \to Y$ une fonction quelconque (dit autrement, $(Y,\sigma)$ est un magma).
En général les objets dits "libres" sur $X$ sont des constructions dont on veut qu'elles réalisent certaines "missions" (qui les rendent uniques à isomorphisme près-voir plus bas).

Afin de comprendre je te suggère d'essayer de montrer les choses suivantes par tes propres moyens, en prenant comme définition de $M(X)$ celle de Bourbaki.
(*) Il existe une fonction $\varphi: M(X) \to Y$ et une seule, telle que $\varphi |_{X}=f$ et $\forall x,y \in M(X), \varphi((x,y))=\sigma(\varphi(x),\varphi(y))$.

(en fait le mode de construction particulier de $M(X) $n'est qu'un détail; l'important est que le théorème (*) soit vérifié; c'est aussi ce que dit le résultat ci-dessous)

(**) Soit $(K,*)$ un magma contenant $X$, tel que pour tout magma $(Z,\tau)$ et toute fonction $g:X \to Z$, il existe un unique morphisme de magmas $\psi: K \to Z$ prolongeant $g$. Alors on peut montrer (c'est facile) qu'il existe un unique isomorphisme de magmas entre $(K,*)$ et $(M(X), (,))$ dont la restriction à $X$ est l'identité.

GaBuZoMeu · June 2015

Si tu es un néophyte comme tu le dis, un conseil : commencer par le chapitre 1 de l'Algèbre de Bourbaki n'est sans doute pas la voie la plus aisée.
Pas mal des questions que tu te poses sont éclaircies quand on poursuit la lecture du paragraphe de Bourbaki (je suis allé voir).
As-tu une raison spéciale pour étudier ce chapitre de Bourbaki (je veux dire, à part le fait que c'est le chapitre 1) ?

curiosity · June 2015

Néophyte... ça ne veut pas dire grand chose ;-). Je connais et utilise Bourbaki comme beaucoup de monde depuis pas mal de temps (et essentiellement pour de courts extraits, pour préciser quelque chose).
Ici, je veux aller jusqu'à la définition la plus "générale" des algèbres de polynômes comme dans A III.25 §9, et de là je suis remonté sur les notions que je ne connaissais que très vaguement, jusqu'à retrouver ce fameux magma libre...
Je pense que j'ai compris là où on voulait en venir, mais dans ce cas je suis obligé de regretter que la rédaction du bouquin ne soit pas plus claire, comme c'est expliqué ci-dessus, i.e. en écrivant explicitement qu'on cherche à définir une nouvelle structure. Alors si on peut toujours dire que les Bourbaki, c'est déjà ça qu'ils existent, OK, mais je pense que ce n'est pas un mal de dire aussi qu'il y a des problèmes ici ou là, ça pourra aider d'autres curieux qui passeraient par là :-). D'autant que pour le paragraphe suivant sur les monoïdes libres, je n'ai pas été confronté au problème (les produits d'ensemble n'apparaissent pas sous la même forme !).
Maintenant, si j'ai encore mal compris, n'hésite(z) pas à me le dire (tu).

Jer anonyme · June 2015

La différence entre un magma et un monoïde, c'est l'associativité. Autrement dit, pour écrire « l'élément le plus général » dans un magma, il faut se donner la liste ordonnée des éléments et, en plus, le parenthésage.

Comme l'a dit GaBuZoMeu, on peut coder ce dernier par un arbre binaire avec une règle qui apparaît en haut à droite de cette figure. Mais il faut alors formaliser ce qu'est un arbre binaire planaire : la définition récursive des $M_k$ dans le libre de Bourbaki traduit qu'un arbre, c'est une feuille avec une étiquette ou un nœud d'où partent un ou deux arbres (plus petits).

christophe c · June 2015

Quand on lit Bourbaki il ne faut pas confondre (AXB)XC avec AX(BXC)

curiosity · June 2015

christophe c
Je ne comprends pas le sens de cette remarque : faut-il le faire quand on lit autre chose que Bourbaki ??

Et si $A=B=C$, Bourbaki écrit bien à un endroit ou un autre (dans Théorie des Ensembles) qu'on peut tout à fait les confondre ces 2 ensembles, non ?

Ou est-ce plutôt un conseil d'ordre général pour Bourbaki ?

[Ne pas recopier le message précédent. AD]

christophe c · June 2015

En règle générale il vaudrait mieux ne jamais les confondre, mais il arrive hélas que par abus de langage ils le soient en espérant que dans le contexte ça ne soit pas conséquent c'est tout

GaBuZoMeu · June 2015

Salut Christophe ! Ca fait plaisir de te lire.

@curiosity : il y a bien une bijection canonique entre $X\times(X\times X)$ et $(X\times X)\times X$, qui envoie $(x,(y,z))$ sur $((x,y),z)$. Mais si Bourbaki, dans sa grande sagesse, écrit les choses comme ça, c'est parce qu'il souhaite que le lecteur ou la lectrice voie qu'on a d'un côté le mot parenthésé $x(yz)$ et de l'autre le mot parenthésé $(xy)z$. Et c'est clair quand on poursuit la lecture du paragraphe.
Et quand je dis que tu as touillé cette description à ta sauce, c'est bien ce que tu as fait en écrivant $X^3\times \{1\}$ et $X^3\times \{2\}$ au lieu de ce qui est écrit dans Bourbaki, et en perdant ainsi toute l'information utile sur la manière de parenthéser les mots. Tu t'es égaré tout seul, inutile de prétendre sur cet exemple qu'"il y a des problèmes ici ou là" dans Bourbaki. Je ne dis pas qu'il n'y en a pas, mais il faudra trouver un exemple plus pertinent !

christophe c · June 2015

Salut GBMZ

curiosity · June 2015

Non, j'ai simplement fait confiance au bouquin en me disant que s'il ne fallait surtout pas faire ça, il l'aurait écrit noir sur blanc. Chose qu'il n'a pas faite. Ca ne fait pas de lui un maillon faible, ça fait juste de lui un bouquin qui aurait pu (dû ?) être mieux rédigé à cet endroit précis qui est le seul endroit "piégeux" à dix pages à la ronde pour quelqu'un qui ne connaît pas le sujet.
Mais c'est vrai que pour un algébriste ou un informaticien, c'est une évidence...

Jer anonyme · June 2015

Écrire $X^3\times\{1\}$ et $X^3\times\{2\}$ au lieu de $(X\times X)\times X$ et $X\times(X\times X)$, c'est inventer une notation peu explicite qui va poser problème avec plus de lettres.

Prenons par exemple $M_4$ : il y a cinq façons de parenthéser les produits de quatre lettres qui s'arrangent naturellement sur un pentagone (pourquoi ?).
\[\xymatrix{&&((xy)z)t\ar@{-}[drr]\ar@{-}[dll]\\(xy)(zt)\ar@{-}[dr]&&&&(x(yz))t\ar@{-}[dl]\\
&x(y(zt))\ar@{-}[rr]&&x((yz)t)}\]
Comment les numéroter de $1$ à $5$ ? Et encore, il y a un arrangement cyclique.

À partir de cinq lettres, il y a $14$ parenthésages qui s'arrangent selon un associaèdre : pas moyen de numéroter intelligemment de $1$ à $14$ ! Etc.

curiosity · June 2015

Non mais bon, c'est OK, j'ai compris maintenant... :-)
Y'a pas d'invention de notation, y'a explicitement marqué qu'on fait des unions disjointes sur des ensembles que, pendant des années d'enseignement jusque là, on confondait à tour de bras ! XxX^2 et X^2xX, c'est X^3 point barre. De L1 à M1, on ne se pose pas la question, et au contraire on rabâche aux étudiants à qui mieux mieux que c'est la même chose. Sauf cas particulier très spécifique comme celui-ci, et dans ce cas on l'écrit en rouge au tableau et en gras dans un bouquin... Je suis le seul à être allé à l'école là, ou quoi ::o ?
Alors pour faire des unions disjointes sur des familles d'ensembles qui sont pareils, on rajoute (traditionnellement) l'indice en produit : cf. définition dans son bouquin de L1/CPGE préféré...
On peut rajouter des beaux pentagones ou des hexagrammes, ça ne changera rien...

Discussion close, merci aux intervenants et bon week-end :)o !

Blueberry · June 2015

A noter que Choquet (cours de Topologie) justifie que $A, B, C$ étant des espaces topologiques, les espaces topologiques produits $A \times B \times C$, $(A \times

\times C$ et $A \times (B \times C)$ sont homéomorphes, il distingue donc bien les trois ensembles (niveau L3)

Thierry Poma · August 2015

Bonsoir,

@CC : J'espère que tu vas bien. Peux-tu expliquer ce que tu as écrit ici ?

@Blueberry : Ici, ne confondrais-tu pas les ensembles de base (qui sont égaux) avec la structure produit d'espèce topologique (critère d'associativité des structures produits) ?

Cordialement,

Thierry

christophe c · August 2015

Salut Thierry

Bin, je signalais à Curiosity que $A\times (B\times C)\neq (A\times

\times C$ qu'est-ce que tu ne comprends pas? :-S

Thierry Poma · August 2015

Christophe, ce que tu écris est-il à considérer du seul point de vue ensembliste ?

Bergtatt · August 2015

$(a,b)$ est défini comme $\{ a, \{a,b \}\}$ donc même ensemblistement $((a,b),c)$ est différent de $(a,(b,c))$

Thierry Poma · August 2015

Christophe : Quand on lit Bourbaki (ici dans leur "Théorie des ensembles" et ailleurs dans le traité), voici à quoi il faut penser exactement : 43395

christophe c · August 2015

Christophe, ce que tu écris est-il à considérer du seul point de vue ensembliste ?

Non, c'est à considérer de tous les points de vue. Quelle que soit la façon dont on définisse le couple, du moment qu'on lui intime la mission de bien représenter ce qu'on attend de lui, on a presque tout le temps $A\times (A\times A)\neq (A\times A)\times A$. Ce n'est pas juste de "la théorie des ensembles".

idem avec B,C à la place de A, etc.

Ce que dit Curiosity est à prendre avec des pincettes quand il dit "ouais, on m'a toujours appris qu'on identifie $(A\times \times C$ avec $A\times (B\times C)$, patati patata

Si c'est vrai alors il a eu de très mauvais profs. Sinon il exagère un peu. Par ailleurs $A^3$ n'a rien à voir ni avec $A\times (A\times A)$ ni avec $(A\times A)\times A$. C'est un ensemble inclus dans $P(3\times A)$, précisément c'est l'ensemble des applications de $3$ dans $A$ (3 étant $\{0;1;2\}$)

christophe c · August 2015

Dans l'extrait que tu cites, ils établissent une convention pour éviter d'écrire les parenthèses. Ils disent que (a,b,c) abrège ((a,b),c). De la même façon qu'à l'école on apprend en 5ième que 50-30-2 abrège (50-30)-2

Thierry Poma · August 2015

Ils ne conviennent pas que cela. Tu auras soin de noter l'identité
\[
(A\times

\times C=A\times B\times C
\]
Je reviendrai demain soir sur tout cela si le temps me le permet. Je te souhaite une bonne soirée. Là, je vais me coucher.

christophe c · August 2015

Mais c'est exactement pareil. Ils disent que $A\times B\times C$ abrège $(A\times

\times C$. Bon c'est vrai ils auraient pu le dire plus adroitement. Mais un "on pose" normalement on ne le confond pas avec une égalité prouvée

christophe c · August 2015

Bonne nuit

Thierry Poma · August 2015

Bonne nuit à toi aussi...

Blueberry · August 2015

@Thirerry
Bon d'après ce que j'ai lu effectivement $A\times B\times C$ n'est qu'une notation pour $(A\times

\times C$ .

Mais sinon sachant que $(A\times

\times C$ et $A\times (B\times C)$ sont deux espaces produits sur lesquels on met la topologie produit, si c'était les mêmes ensembles produits, comment voudrais-tu que les topologies produits soient différentes ? Donc si Choquet prouve qu'ils sont homéomorphes, c'est bien qu'il les considère comme différents du point de vue ensembliste.

Edit : à bien y réflechir mon argument est un peu fumeux, car sur un ensemble produit $A \times B$ deux topologies différentes sur $A$ donnent naissances à deux topologies produits différentes sur $A \times B$, éventuellements homéomorphes.