application linéaire

Je crois que tu vas devoir être un poil plus clair Educ :)o
Souvent la définition de l'application ne pose pas de problème, mais parfois (par exemple si l'ensemble de départ est un quotient), il faut vérifier que l'application est bien définie.

Bonjour,

Incompréhensible.

Cordialement,

Rescassol

Ben tu as ta réponse non ?
Vois-tu pourquoi la première est mal définie ?

Ben est-ce que $f : \mathbb{Z}/2 \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$, $\overline{k} \mapsto k$ est bien définie ?

Sur le passage au quotient, tu peux te demander s'il existe une application de $\R/\Z$ dans lui même qui, pour tout réel $x$, envoie la classe de $x$ sur la classe de $2x$. Tu peux remplacer le facteur $2$ par le facteur $1/2$ pour voir si ça change quelque chose. Mais évite de te noyer dans un formalisme dont tu ignores le sens. Les maths ont un sens !

Bonjour,
je me permets de m'immiscer dans la conversation afin de m'ôter quelques doutes.

Crapul a écrit:

Ben est-ce que $f : \mathbb{Z}/2 \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$, $\overline{k} \mapsto k$ est bien définie ?

Mon incompréhension vient de ceci :
- Si on considère $\mathbb{Z}/2 \mathbb{Z}$ comme ensemble à 2 éléments seulement ($\overline{0}$ et $\overline{1}$), alors j'ai l'impression que la fonction est bien définie, non ?
- Par contre si je considère $\overline{3}$ qui s'identifie donc à $\overline{1}$, on a $\overline{1}=\overline{3}$ mais pas $f(\overline{1})=f(\overline{3})$ et dans ce cas la fonction n'est pas définie.

Dans ce cas, comment doit-on interpréter l'ensemble de départ ?

Educ, deux points.
1) Il est absurde d'écrire une propriété de $f$ pour démontrer l'existence de $f$. Étant donné un $x$ de $E$, cela n'a absolument aucun sens d'écrire $f(x)$ si on ne sait pas que $f(x)$ existe.

2) Si $f(x)$ a un sens, il est absolument évident que dans le calcul de $f(x)$, si on remplace le nom $x$ par un autre nom $y$ du même objet (c'est-à-dire si $x=y$), le résultat obtenu, c'est-à-dire $f(y)$, sera le même objet que $f(x)$.
(Pour reprendre une formule lue maintes fois sur le forum : si $x=y$, tout ce qui arrive à $x$ arrive à $y$.)

Donc l'assertion $\forall x,y,\ x=y\Rightarrow f(x)=f(y)$ n'a pas de sens si $f$ n'est pas définie et c'est une trivialité si $f$ est définie ; elle n'a rien à voir avec la linéarité de $f$ -- ni avec l'injectivité d'ailleurs, on pourrait confondre parce que ce sont les mêmes symboles dans un ordre différent.

Le document que tu cites est très mal rédigé.

La problématique est la suivante. On se donne un élément $x \in \Z/12\Z$. On se demande si, pour tout $a,b$ dans la classe $x$ (autrement dit $a$ et $b$ sont deux entiers relatifs tels $(a)_{12}=(b)_{12}=x$) on a $(a)_4=(b)_4$. Il se trouve que oui. On peut donc définir $f(x)$ en convenant que c'est $(a)_4$ pour un $a$ choisit de manière quelconque dans la classe de $x$ (étant donné que l'on vient de montrer que le choix n'influait pas).

@GreginGre ,

Merci pour les précisions mais mon problème n'est pas exactement là.
Si on considère une fonction de $Z/2Z$ dans un ensemble $X$, la donnée de cette fonction est déterminée par les valeurs prises en les 2 éléments (ici les 2 classes d'équivalence).
En fait j'ai l'impression que ce qui me dérange c'est que l'on puisse utiliser un représentant pour définir l'élément de départ de la fonction au lieu de la classe d'équivalence en tant que telle.

Ben, c'est bien là le problème. On ne peut pas en général. La notation générale $\bar{x}$ pour un élément du quotient suppose que l'on choisisse un représentant $x$. Du coup, qu'est-ce qui dit que l'image est indépendante de $x$ ? rien.

C'est ce que te montres l'exemple choisi.

Merci à tous, c'est tout à fait limpide pour moi.
C'est ce décalage entre aspect pratique et la définition générale d'une fonction définie sur un ensemble quotient qui me posait problème. (:P)

Eh ben suppose que $f$ est bien définie et que $k \neq h$ et $\overline{k}=\overline{h}$.
On devrait avoir alors $f(\overline{k})=f(\overline{h})$, si $f$ était effectivement bien définie.
Est-ce le cas ?

J'apporte un point de vue peu académique qui reprend cependant les remarques piochées ici et là en changeant la sémantique :
En effet, il faut à mon sens insister sur le fait qu'on construit des opérations arithmétiques sur des ensembles (on ajoute des ensembles entre eux et on multiplie des ensembles entre eux).
Le mot classe est synonyme d'ensemble. C'est la manière de noter ces ensembles qui devient "problématique".
Ensuite, une fois la notation choisie (qui se trouve dépendre d'un seul élément de l'ensemble - c'est bizarre !) on vérifie qu'elle est convenable.

((H)):

La question de l'exercice en anglais est, montrer que f, (...), est bien définie et surjective.
Où est le problème dans la formulation de la question?

le problème n'est pas dans la question mais dans la résolution proposée

C'est l'écriture $f([a]_{12})=f([c]_{12})$ qui te gêne?

Effectivement,

c'est un peu malsain puisque f n'est pas encore "bien définie". Alors qu'il suffisait d'écrire "then $[a]_4 = [{b}]_4$". Ou plus simplement d'écrire clairement, en anglais courant, que le choix du représentant ne doit pas influer sur l'image, prendre un b dans la classe de a, etc.

Cordialement.

Je ne pense pas t'avoir mal parlé Educ. Je ne comprends pas ce que tu as mal pris. De mon côté, je t'ai trouvé plusieurs fois agressif mais je continue à converser avec toi. Peut-être ai-je tort...

J'ai simplement dit dans le message que tu cites de moi que des abus de langage inoffensifs pour qui connaît le sujet (inoffensifs au point qu'il ne les voit parfois même pas) posent des difficultés de compréhension à ceux qui ne connaissent pas le sujet. J'ai implicitement affirmé que tu ne connaissais pas le sujet mais j'imagine que tu est déjà au courant. Si tu n'es pas au courant c'est bon que tu le saches. Enfin quoiqu'il en soit j'essaye de t'aider mais tes réactions ne me motivent pas trop pour continuer...

Ce serait par ailleurs sympa que tu édites ton message, on a vraiment l'impression de prime abord que tu affirmes que j'ai dit ce qui est encadré dans ton message (à moins que ce ne soit l'effet de l'edit de jacquot). Alors qu'au contraire l'encadré correspond à ce que tu affirmes. Bref.

Quand à ta dernière remarque, on t'a déjà dit que la manière dont tu exprimes la non ambiguïté n'a pas de sens. Pour avancer peut-être peux-tu essayer d'expliquer ce que tu n'as pas compris dans nos explication ? Sinon on ne pourrait que redire la même chose.

@FdP

Effectivement. Merci du tuyau :-). Mais là je ne vois pas trop par quoi le remplacer :-).

C'est pas évident. Comme dit plus haut, ça n'a pas de sens tant que $f$ n'en a pas et, une fois que $f$ a un sens c'est trivial. On pourrait dire « not even wrong ».

@Fin de partie : c'est {0,1,...,n-1} et pas {0,1,...,n} :-)