Sous-groupe d'indice 2
Réponses
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Bonjour,
Fais la liste des classes à gauche et la liste des classes à droite (modulo H). -
J'aurais envie de dire deux classes à gauche et deux à droite :-S
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Peux tu les lister ?
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Ce que veux dire PB c'est que les classes modulo $H$ y en a pas foule.
Tu prends $a$ un élément qui n'est pas dans $H$. Que peut-on dire de $aH$ et $Ha$ ? Pour voir qu'ils sont égaux il faut compter les éléments. -
Pour commencer : H est à la fois une classe à gauche et une classe à droite (modulo H).
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Oups j'avais pas vu vos réponses !
Oui j'avais déjà $H$ comme classe à gauche et à droite, c'est justement sur les autres possibilités où je n'arrive pas à imaginer le "truc"
Il me faudrait prendre $g \in G$ mais pas $H$ comme dit Jacky9393 mais je ne vois comment l'utiliser -
Ecris $G$ comme réunion disjointe de classes d'équivalence de deux manières.
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On peut écrire $G= \underset{g \in G}{\cup} gH$ et $G= \underset{g \in G} {\cup}Hg$.
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Et il n'y a que deux classes dans chacune des partitions.
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Donc il existe $g_1$ et $g_2$ dans $G$ tels que $G=H \cup g_1H =H \cup H g_2$ d'où $g_1H=Hg_2$.
Il me manque donc $g_1=g_2$ à trouver : je pensais faire $g_1h=hg_2$ pour tout $h \in H$, on obtient $h^{-1}g_1 = g_2 h^{-1}$ alors $Hg_1=g_2H$
donc $Hg_1=Hg_2$ et enfin $g_1=g_2$, donc on obtient bien $g_1H=Hg_1$.
Est-ce correct ? -
Ce n'est pas correct du tout :
1- on ne veut pas montrer que $g_1=g_2$ (que veut-on montrer ?)
2- on n'a pas $g_1 h=h g_2$ pour tout $h\in H$
3- les "donc" qui suivent sont encore plus faux.
Désolé, try again :-)
Première étape : que veut-on montrer ? -
Oups :-D
Je veux montrer que $H$ est distingué donc que les classes à gauche et à droite sont égales donc $gH=Hg,\ \forall g \in G$. -
J'aurais plutôt écrit qu'on veut montrer que $gH=Hg,\ \forall g \in G$ et qu'ainsi $H$ est distingué dans $G$.
Par ailleurs, ce n'est pas parce qu'on a $aH=bH$, qu'on a $a=b$. -
En outre, comme cela l'a été rappelé par d'autres,
Si on prend $a$ n'appartenant pas à $H$ on a $G= H \cup aH=H \cup Ha$, les unions portent sur des ensembles qui sont disjoints dans chaque membre concerné. -
Ok ! je viens de comprendre :-D
ça fait un moment que j'avais pas touché aux groupes alors je me suis tout emmêlé B-)-
Merci de vos réponses ! -
J'ai vu dans plusieurs cours la démonstration de la propriété "tout sous-groupe d'indice $2$ est distingué" invoquer les classes à droite. Néanmoins il semble que la notion de "classe à droite" disparaisse ensuite du cours.
Ne serait-il pas plus opportun de démontrer cette propriété de la façon suivante : étant donnné $H$ un sous-groupe d'indice $2$ de $G$, on considère l'application $\varphi: G \rightarrow \{1,-1\}$ définie par $\varphi(x)=1$ si $x \in H$ et $\varphi(x)=-1$ sinon.
On montre que $\varphi$ est un morphisme (ce n'est pas très long) et par conséquent $H$, qui est son noyau, est un sous-groupe distingué de $G$. -
Cette propriété est un cas particulier d'une propriété plus générale:
Si $p$ est un le plus petit nombre premier qui divise l'ordre d'un groupe $G$ et si $H$ est d'indice $p$ dans $G$ alors $H$ est sous-groupe distingué de $G$.
J'ai exumé un très vieux message sur le sujet:
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?2,171286,171288#msg-171288 -
Oui, en classes à gauches, pour montrer qu'on a un morphisme.
@FdP : oui tout à fait mais la démonstration est plus sophistiquée ! On peut faire agir H par translation sur les classes à gauche G/H. Il y a soit 1 orbite de p éléments soit p orbites de 1 élément et, comme H est sa propre orbite, on est dans le deuxième cas. Pour tout x et tout h on a alors : hxH=xH et on conclut. -
Ah ok c'est le fait d'utiliser les classes à droite que tu voulais éviter, je n'avais pas compris.
Mais on peut les éviter sans parler de morphisme. -
On peut utiliser des classes à gauche :-D
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Comment as-tu deviné FdP ? B-)-
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Oui, disons que je trouve plus élégant de voir le sous-groupe distingué comme le noyau d'un morphisme. Ça généralise le fait que, par exemple, le groupe alterné est noyau du morphisme "signature".
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Blaise:
Tu caches tout "sous le tapis" car Il faut vérifier que ton application est un homomorphisme de groupes.
PS:
Le raisonnement "classique" est le suivant si $H$ est un sous-groupe d'indice $2$ de $G$ on a pour $g$ de $G$ qui n'est pas dans $H$ $G=H\bigsqcup gH=H\bigsqcup Hg$ donc $gH=Hg$ pour tout $g$ de $G$. -
Effectivement mais ça se vérifie assez facilement : si x et y sont dans H alors xy aussi, si l'un est dans H et pas l'autre alors xy n'y est pas. Si ni l'un ni l'autre ne sont dans H, supposons que xy ne soit pas dans H, alors xH = xyH et y dans H, contradiction.
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