S/g et quotients dans groupes abéliens finis

Piteux_gore · August 2015

Bonjour,

Dans un groupe cyclique d'ordre n, pour chaque diviseur d de n il existe un et un seul s/g d'ordre d ainsi qu'un et un seul groupe quotient d'ordre d.

Dans un groupe abélien non-cyclique d'ordre n il n'existe pas nécessairement un s/g pour chaque diviseur et, s'il en existe un, il n'est pas nécessairement unique.
Mais, s'il existe des groupes d'ordre un certain diviseur d de n, le nombre de groupes quotients d'ordre d est-il égal au nombre de sous-groupes d'ordre d ?

A+

JLT · August 2015

Non (le groupe alterné n'a pas beaucoup de quotients)...

Édit : j'ai zappé "abélien". Ne pas tenir compte de mon message.

PB · August 2015

Bonjour,
Ce que vous appelez le nombre de quotient d'ordre d, c'est bien le nombre de sous-groupes d'ordre n/d.
Si oui, votre question est bien : est-ce le nombre de sous-groupes d'ordre d est égal au nombre de sous-groupes d'ordre n/d ?
Si oui : probablement non, en général :-)

Jer anonyme · August 2015

J'écris ce qui suit au lieu de réfléchir, cela pourrait être bien faux.

Sachant qu'un groupe abélien $G$ est un produit de groupes cycliques, ne peut-on pas montrer que pour tout diviseur $d$ de l'ordre $n$ du groupe, il y a bien un sous-groupe d'ordre $d$ dans $G$ ? En effet, si $G\simeq\prod_{i=1}^r\Z/n_i\Z$, de sorte que $n=\prod n_i$, on peut écrire (de façon non unique) un diviseur $d$ de $n$ sous forme $d=\prod d_i$ où chaque $d_i$ divise $n_i$. Et alors...

Pour la deuxième question, il semble utile d'introduire le dual d'un groupe abélien $G$, qui est le groupe abélien $\widehat{G}=\hom(G,\C^*)$ des morphismes de $G$ dans $\C^*$. Cela doit permettre d'établir une correspondance entre sous-groupes de $\widehat{G}$ et quotients de $G$. Mais $\widehat{G}$ est isomorphe à $G$ (pas naturellement), donc...

NB : On montre facilement que le dual d'un produit est le produit des duaux (si le produit est fini) et que le dual d'un groupe cyclique est isomorphe à ce groupe. Il en résulte que $G$ est isomorphe à son dual mais pas canoniquement ; en revanche, l'injection naturelle $G\to\widehat{\widehat{G}}$ est un isomorphisme canonique. Bref, la dualité a bien des points communs avec celle des espaces vectoriels.

Piteux_gore · August 2015

RE

Pour JLT
Le groupe alterné n'est pas abélien en général et ma question concerne les groupes abéliens finis.

Pour PB
Plus précisément, soient G un groupe abélien non-cyclique d'ordre n et d un diviseur de n : n = dq.
S'il n'existe aucun s/g d'ordre d, il n'existe aucun quotient d'ordre q ???
S'il existe un s/g H d'ordre d, alors G/H est un s/g d'ordre q.
S'il existe N s/g d'ordre d, existe-t-il N quotients d'ordre q ?
Autrement dit, peut-on associer tout s/g d'ordre d à un quotient d'ordre q et vice-versa ?

A+

PB · August 2015

Jer anonyme : bien vu, avec la dualité.

AD · August 2015

Bonjour

Piteux-gore a écrit:

S'il existe N s/g d'ordre d, existe-t-il N quotients d'ordre q ?
Autrement dit, peut-on associer tout s/g d'ordre d à un quotient d'ordre q et vice-versa ?

Quand tu parles de $N$ sous-groupes, ce sont $N$ sous-groupes parmi tous les sous-groupes de $G$.
Quand tu parles de $N$ quotients, cela veut dire quoi ? $N$ parmi les groupes de quel "ensemble" ? Les groupes en général ne forment pas un ensemble, même les groupes finis. En revanche, les groupes à isomorphisme près (et de cardinal majoré) formeront un ensemble. Si donc tu penses $N$ parmi l'ensemble des groupes finis (à isomorphisme près), tu vois que deux sous-groupes distincts de $G$ peuvent avoir le même groupe quotient (à isomorphisme près).
Il n'y a, en général, pas de relation simple entre le nombre de sous-groupes (distingués puisque $G$ est commutatif) et le nombre de groupes quotients (à isomorphisme près).
Mais à tout sous-groupe $H$ d'ordre $d$ (distingué dans $G$) tu peux faire correspondre le groupe quotient $G/H$, qui est unique (à isomorphisme près) et d’ordre $n/d$.
Alain

Fin de partie · August 2015

S'il existe N s/g d'ordre d, existe-t-il N quotients d'ordre q ? a écrit:

Tu veux dire:
Si G est d'ordre n et si q divise n, il existe un groupe J d'ordre q et un sous-groupe H de G tel que G/H est isomorphe à J?

GaBuZoMeu · August 2015

Pour moi, un quotient de $G$ est un homomorphisme surjectif $p:G\twoheadrightarrow H$, à isomorphisme près (où un isomorphisme de quotients $p:G\twoheadrightarrow H$ et $q:G\twoheadrightarrow K$ est un isomorphisme $f:H\to K$ tel que $q=f\circ p$.
Il y a donc une bijection canonique entre les sous-groupes distingués d'indice $n$ de $G$ et les quotients d'ordre $n$ de $G$.

Piteux_gore · August 2015

RE

Cette question m'est venue suite à mon précédent fil sur les s/g de Z/p²Z x Z/pZ avec p premier :
- on montre que le nb de s/g d'ordre p est p+1
- partant de là peut-on dire qu'à chaque s/g H d'ordre p correspond un quotient G/H d'ordre p³/p = p², donc qu'il y autant de s/g d'ordre p² que de s/g d'ordre p ?

A+

AD · August 2015

Re-bonjour Piteux-gore
Jer t'a donné la clef pour répondre à ta question :

Jer a écrit:

Pour la deuxième question, il semble utile d'introduire le dual d'un groupe abélien $G$, qui est le groupe abélien $\widehat{G}=\hom(G,\C^*)$ des morphismes de $G$ dans $\C^*$. Cela doit permettre d'établir une correspondance entre sous-groupes de $\widehat{G}$ et quotients de $G$. Mais $\widehat{G}$ est isomorphe à $G$ (pas naturellement), donc...

Dans un groupe $G$ abélien fini, on peut ainsi construire une bijection (non canonique) de l'ensemble des sous-groupes de $G$, dans lui-même, qui à chaque sous-groupe $H$ associe son orthogonal $H^\perp$ qui (par l'intermédiaire de l'identification non canonique de $G$ avec son dual) est un sous-groupe de $G$ isomorphe à $G/H$.
C'est la raison pour laquelle le treillis des sous-groupes d'un groupe $G$ abélien fini présente, lorsqu'il est dessiné convenablement, une symétrie centrale :
- à $G$ correspond $\{0\}$,
- à $H$ correspond $H^\perp$ qui est isomorphe à $G/H$.
Si $H\cap H^\perp=\{0\}$, alors on a $G=H\times H^\perp$, décomposition de $G$ en produit direct de deux de ses sous-groupes.
Alain

Piteux_gore · August 2015

RE

Oui mais je suis en quête d'une réponse basée sur des notions élémentaires (ordre, quotient, propriété universelle, etc.), donc qui ne fasse pas intervenir du Sylow, du dual et tout le toutim.

Pour en revenir à mon exemple G = Z/p²Z x Z/pZ, à tout s/groupe H d'ordre p correspond un quotient G/H d'ordre p².
Peut-on pour autant, à partir de notions élémentaires, affirmer que tout s/g d'ordre p² est donné par le quotient de G par un et un seul groupe d'ordre p ?

A+

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