rotation dans un espace euclidien de dim 3

De bonnes notations d'abord, mieux vaut noter $\theta$ ce que tu notes $O$ pour ne pas confondre avec zéro; Ensuite mieux vaut noter $w=e\wedge x$ ce que tu notes w=e^x car il s'agit du produit vectoriel. de $e$ et de $x$. Tu sais que $w$ est un vecteur orthogonal à $e$ et $x$ (donc aussi dans le plan orthogonal à $e$ comme l'est le vecteur particulier $x$ de l'exo). Sa longueur est $\|w\|=\|e\|\|x\| \sin \alpha$ si $\alpha\in (0,\pi)$ satisfait $\langle e,x\rangle=\|e\|\|x\| cos \alpha$ et enfin sa direction est telle que $(e,x,w)$ est directe. Ici $\alpha=\pi/2$ et $\|e\|=1$ donc $a=\|w\|=\|x\|.$ Bref $(e,x/a,w/a)$ forme une base orthonormale directe de l'espace euclidien $E$ orienté de dimension 3.


Quant à la question 'qu'est ce qu'une rotation' je ne sais pas ce qu'il y a dans ton cours. On peut dire que c'est un endormorphisme $R$ de $E$ tel que $RR^*$ est l'identité et tel que $\det R=1$. Ton cours montre que $R$ a 1 pour valeur propre et que si $e_1$ est un vecteur propre de longueur 1 pour cette valeur propre alors il existe un nombre $\theta$ appelé angle de rotation de $R$ tel que en prenant (e_1,e_2,e_3) une base orthonormée directe quelconque la matrice représentative de $R$ dans cette base est $\mathrm{diag}(1,M(\theta))$ où $$M(\theta)=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta&-\sin \theta\\\sin \theta&\cos \theta\end{array}\right]$$

Appliquons ceci à $e_1=e,$ $e_2=x/a$ et $e_3=w/a.$ Donc $x=0e_1+ae_2+0e_3$ et donc $$R(x)=0e_1+a\cos \theta e_2+a\sin \theta e_3=(\cos \theta)\, x+(\sin \theta)\, w.$$ Si tout cela est de l'hébreu pour toi dis le, c'est que ton cours est très appliqué, physicien, intuitif et on essaiera d'autres explications.

De nada.