Une question sur les groupes-quotients

Piteux_gore
Piteux_gore
dans Algèbre
Bonjour,

Soient G un groupe et H un s/g distingué.
Ai-je le droit de dire ce qui suit ?
De par la définition de la loi quotient xH.yH = (xy)H, on a que xkh et (xh)k sont dans la même classe pour tous h de H et k de N.

Merci d'avance.
Arcsinus arcsinum fricat.

Réponses

  • Siméon
    Siméon
    Cher Piteux_Gore,
    Tu as bien le droit de dire ce que tu veux, mais l'argument me paraît trop elliptique pour être convaincant.
  • AD
    AD
    Bonsoir Piteux-gore
    Si tu essayais de le montrer !
    Indication : utilise le morphisme surjectif canonique $\pi : G\to G/H$.
    Alain
  • Piteux_gore
    Piteux_gore
    RE

    On peut le montrer par récurrence, mais je me demandais si c'était vraiment indispensable.

    A+
    Arcsinus arcsinum fricat.
  • AD
    AD
    Re-bonsoir Piteux-gore
    Si tu parles de la démonstration, oui elle est indispensable puisque tu te poses la question.
    Si tu parles de la récurrence, non elle n'est pas indispensable.
    Quelles sont les images par $\pi$ de $x^kh$ et de $(xh)^k$ ?
    Alain
  • Piteux_gore
    Piteux_gore
    RE

    Je dirais que
    p(xkh) = p(xk)p(h) = (p(x))kp(h) = (p(x))kH
    et que
    p((xh)k) = (p(x)p(h))k = (p(x)H)k = p(x)H....p(x)H = [p(x)...p(x)]H = (p(x))kH.

    A+
    Arcsinus arcsinum fricat.
  • AD
    AD
    Re-bonsoir Piteux_gore
    OK. Qu'en déduis-tu donc pour $x^kh$ et $(xh)^k$ dans $G$ ?
    Alain
  • Piteux_gore
    Piteux_gore
    RE

    J'avais omis la fin
    p(xkh) = p(xk)p(h) = (p(x))kp(h) = (p(x))kH = (p(x))k
    et
    p((xh)k) = (p(x)p(h))k = (p(x)H)k = p(x)H....p(x)H = [p(x)...p(x)]H = (p(x))kH = (p(x))k.

    J'en déduis que les deux expressions représentent une seule et même classe.

    Mais si je reviens à ma question initiale :
    La classe xkH contient xkh pour h décrivant H.
    La classe (xH)k contient tous les produits de la forme xhxh'xh''..., donc contient en particulier xhxhxh... = (xh)k.
    Mais, comme les classes xkH et (xH)k sont confondues, xkh et (xh)k sont dans la même classe.

    A+
    Arcsinus arcsinum fricat.
  • AD
    AD
    Re-bonsoir Piteux_gore
    (tu)
    Te voilà convaincu maintenant que tu viens de le prouver.
    Alain
  • Dom
    Dom
    Une remarque peu profonde, j'en conviens :
    Certains appellent cela une "récurrence immédiate". Ce sont les "anti-pointillés".
    Deux choix pour l'excès de rigueur (d'écriture) :
    a) rédiger la récurrence "pour de vrai" (mais éviter les pointillés !).
    b) se débarrasser des pointillés en utilisant le symbole "produit" $\prod$.

    Le mieux est l'ennemi du bien, je le conçois.
  • Jer anonyme
    Jer anonyme
    @Dom : Le symbole $\prod$ dans un contexte non commutatif n'est pas recommandable -- dans quel ordre fait-on le produit ?

    Sinon, on peut en effet traiter la question initiale par récurrence : RAS pour $k=1$, puis si pour $k$ donné, on a $(xh)^kH=x^kh^kH$ pour tout $x$ et tout $h$, alors : $(xh)^{k+1}H=(xh)^kxhH=x^kh^kh'xh=x^kxh''h$ pour $h'$ et $h''$ convenables, d'où le résultat.

    Via la projection sur $G/H$ suggérée par AD, elle remplace cette récurrence par celle-ci : si $f$ est un morphisme de groupe, alors pour tout $k$ entier et tout $x$ du groupe de départ, $f(x^k)=f(x)^k$.
  • AP
    AP
    Bonjour, une autre façon de présenter :

    la classe de $x^kh$ est $(x^kh)H=x^kH$
    (puisque notamment $hH=H$)

    celle de $(xh)^k$ est $(xh)^kH=((xh)H)^k=(xH)^k=x^kH$
    (en utilisant le produit dans l'ensemble quotient)

    Donc $x^kh$ et $(xh)^k$ sont dans la classe de $x^k$
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