Absurdité et complexité sont les deux mamelles de l'administration.
Une question sur les groupes-quotients
dans Algèbre
Bonjour,
Soient G un groupe et H un s/g distingué.
Ai-je le droit de dire ce qui suit ?
De par la définition de la loi quotient xH.yH = (xy)H, on a que xkh et (xh)k sont dans la même classe pour tous h de H et k de N.
Merci d'avance.
Soient G un groupe et H un s/g distingué.
Ai-je le droit de dire ce qui suit ?
De par la définition de la loi quotient xH.yH = (xy)H, on a que xkh et (xh)k sont dans la même classe pour tous h de H et k de N.
Merci d'avance.
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Réponses
Tu as bien le droit de dire ce que tu veux, mais l'argument me paraît trop elliptique pour être convaincant.
Si tu essayais de le montrer !
Indication : utilise le morphisme surjectif canonique $\pi : G\to G/H$.
Alain
On peut le montrer par récurrence, mais je me demandais si c'était vraiment indispensable.
A+
Si tu parles de la démonstration, oui elle est indispensable puisque tu te poses la question.
Si tu parles de la récurrence, non elle n'est pas indispensable.
Quelles sont les images par $\pi$ de $x^kh$ et de $(xh)^k$ ?
Alain
Je dirais que
p(xkh) = p(xk)p(h) = (p(x))kp(h) = (p(x))kH
et que
p((xh)k) = (p(x)p(h))k = (p(x)H)k = p(x)H....p(x)H = [p(x)...p(x)]H = (p(x))kH.
A+
OK. Qu'en déduis-tu donc pour $x^kh$ et $(xh)^k$ dans $G$ ?
Alain
J'avais omis la fin
p(xkh) = p(xk)p(h) = (p(x))kp(h) = (p(x))kH = (p(x))k
et
p((xh)k) = (p(x)p(h))k = (p(x)H)k = p(x)H....p(x)H = [p(x)...p(x)]H = (p(x))kH = (p(x))k.
J'en déduis que les deux expressions représentent une seule et même classe.
Mais si je reviens à ma question initiale :
La classe xkH contient xkh pour h décrivant H.
La classe (xH)k contient tous les produits de la forme xhxh'xh''..., donc contient en particulier xhxhxh... = (xh)k.
Mais, comme les classes xkH et (xH)k sont confondues, xkh et (xh)k sont dans la même classe.
A+
(tu)
Te voilà convaincu maintenant que tu viens de le prouver.
Alain
Certains appellent cela une "récurrence immédiate". Ce sont les "anti-pointillés".
Deux choix pour l'excès de rigueur (d'écriture) :
a) rédiger la récurrence "pour de vrai" (mais éviter les pointillés !).
b) se débarrasser des pointillés en utilisant le symbole "produit" $\prod$.
Le mieux est l'ennemi du bien, je le conçois.
Sinon, on peut en effet traiter la question initiale par récurrence : RAS pour $k=1$, puis si pour $k$ donné, on a $(xh)^kH=x^kh^kH$ pour tout $x$ et tout $h$, alors : $(xh)^{k+1}H=(xh)^kxhH=x^kh^kh'xh=x^kxh''h$ pour $h'$ et $h''$ convenables, d'où le résultat.
Via la projection sur $G/H$ suggérée par AD, elle remplace cette récurrence par celle-ci : si $f$ est un morphisme de groupe, alors pour tout $k$ entier et tout $x$ du groupe de départ, $f(x^k)=f(x)^k$.
la classe de $x^kh$ est $(x^kh)H=x^kH$
(puisque notamment $hH=H$)
celle de $(xh)^k$ est $(xh)^kH=((xh)H)^k=(xH)^k=x^kH$
(en utilisant le produit dans l'ensemble quotient)
Donc $x^kh$ et $(xh)^k$ sont dans la classe de $x^k$