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Une question sur les groupes-quotients

Envoyé par Piteux_gore 
Une question sur les groupes-quotients
il y a quatre années
Bonjour,

Soient G un groupe et H un s/g distingué.
Ai-je le droit de dire ce qui suit ?
De par la définition de la loi quotient xH.yH = (xy)H, on a que xkh et (xh)k sont dans la même classe pour tous h de H et k de N.

Merci d'avance.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre années et a été effectuée par AD.
Re: Une question sur les groupes quotient
il y a quatre années
avatar
Cher Piteux_Gore,
Tu as bien le droit de dire ce que tu veux, mais l'argument me paraît trop elliptique pour être convaincant.
AD
Re: Une question sur les groupes quotient
il y a quatre années
avatar
Bonsoir Piteux-gore
Si tu essayais de le montrer !
Indication : utilise le morphisme surjectif canonique $\pi : G\to G/H$.
Alain
Re: Une question sur les groupes quotient
il y a quatre années
RE

On peut le montrer par récurrence, mais je me demandais si c'était vraiment indispensable.

A+
AD
Re: Une question sur les groupes quotient
il y a quatre années
avatar
Re-bonsoir Piteux-gore
Si tu parles de la démonstration, oui elle est indispensable puisque tu te poses la question.
Si tu parles de la récurrence, non elle n'est pas indispensable.
Quelles sont les images par $\pi$ de $x^kh$ et de $(xh)^k$ ?
Alain
Re: Une question sur les groupes quotient
il y a quatre années
RE

Je dirais que
p(xkh) = p(xk)p(h) = (p(x))kp(h) = (p(x))kH
et que
p((xh)k) = (p(x)p(h))k = (p(x)H)k = p(x)H....p(x)H = [p(x)...p(x)]H = (p(x))kH.

A+
AD
Re: Une question sur les groupes quotient
il y a quatre années
avatar
Re-bonsoir Piteux_gore
OK. Qu'en déduis-tu donc pour $x^kh$ et $(xh)^k$ dans $G$ ?
Alain
Re: Une question sur les groupes quotient
il y a quatre années
RE

J'avais omis la fin
p(xkh) = p(xk)p(h) = (p(x))kp(h) = (p(x))kH = (p(x))k
et
p((xh)k) = (p(x)p(h))k = (p(x)H)k = p(x)H....p(x)H = [p(x)...p(x)]H = (p(x))kH = (p(x))k.

J'en déduis que les deux expressions représentent une seule et même classe.

Mais si je reviens à ma question initiale :
La classe xkH contient xkh pour h décrivant H.
La classe (xH)k contient tous les produits de la forme xhxh'xh''..., donc contient en particulier xhxhxh... = (xh)k.
Mais, comme les classes xkH et (xH)k sont confondues, xkh et (xh)k sont dans la même classe.

A+
AD
Re: Une question sur les groupes quotient
il y a quatre années
avatar
Re-bonsoir Piteux_gore
thumbs down
Te voilà convaincu maintenant que tu viens de le prouver.
Alain
Dom
Re: Une question sur les groupes-quotients
il y a quatre années
Une remarque peu profonde, j'en conviens :
Certains appellent cela une "récurrence immédiate". Ce sont les "anti-pointillés".
Deux choix pour l'excès de rigueur (d'écriture) :
a) rédiger la récurrence "pour de vrai" (mais éviter les pointillés !).
b) se débarrasser des pointillés en utilisant le symbole "produit" $\prod$.

Le mieux est l'ennemi du bien, je le conçois.
Re: Une question sur les groupes-quotients
il y a quatre années
avatar
@Dom : Le symbole $\prod$ dans un contexte non commutatif n'est pas recommandable -- dans quel ordre fait-on le produit ?

Sinon, on peut en effet traiter la question initiale par récurrence : RAS pour $k=1$, puis si pour $k$ donné, on a $(xh)^kH=x^kh^kH$ pour tout $x$ et tout $h$, alors : $(xh)^{k+1}H=(xh)^kxhH=x^kh^kh'xh=x^kxh''h$ pour $h'$ et $h''$ convenables, d'où le résultat.

Via la projection sur $G/H$ suggérée par AD, elle remplace cette récurrence par celle-ci : si $f$ est un morphisme de groupe, alors pour tout $k$ entier et tout $x$ du groupe de départ, $f(x^k)=f(x)^k$.
AP
Re: Une question sur les groupes-quotients
il y a quatre années
Bonjour, une autre façon de présenter :

la classe de $x^kh$ est $(x^kh)H=x^kH$
(puisque notamment $hH=H$)

celle de $(xh)^k$ est $(xh)^kH=((xh)H)^k=(xH)^k=x^kH$
(en utilisant le produit dans l'ensemble quotient)

Donc $x^kh$ et $(xh)^k$ sont dans la classe de $x^k$
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