Pensez à lire la Charte avant de poster !

$\newcommand{\K}{\mathbf K}$


Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures
 Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
253 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 

Non implication et contraposée

Envoyé par Yayaj 
Non implication et contraposée
il y a quatre années
avatar
Bonjour !

Je suis actuellement des cours du CNED (niveau L1/L2) et je ne comprends la correction d'un exercice...

Enoncé : Soit f une application de E dans E.
Démontrer que : $(\forall g\in \mathcal{F}(E), \forall h\in \mathcal{F}(E), f\circ g=f\circ h \Rightarrow g=h) \Leftrightarrow (f~injective)$

Correction :
1. Si f est injective : pas de soucis pour cette partie
On a (à la fin) $(f~injective) \Rightarrow (\forall g\in \mathcal{F}(E), \forall h\in \mathcal{F}(E), f\circ g=f\circ h \Rightarrow g=h)$


2. Si f n'est pas injective : le problème vient maintenant

[...]On a établi$(f~non~injective) \nRightarrow (\forall g\in \mathcal{F}(E), \forall h\in \mathcal{F}(E), f\circ g=f\circ h \Rightarrow g=h)$

donc la contraposée $(\forall g\in \mathcal{F}(E), \forall h\in \mathcal{F}(E), f\circ g=f\circ h \Rightarrow g=h) \Rightarrow (f~injective)$


Je ne comprends cette contraposée (avec n'implique pas). Je connais $A \Rightarrow B$ et $non~B \Rightarrow non~A$ mais pas celle-là...

Quelqu'un pourrait-il m'aider, svp ? explications, exemples, ...

Merci !

Yayaj



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre années et a été effectuée par Yayaj.
Re: Non implication et contraposée
il y a quatre années
As-tu recopié fidèlement ? Est-il vraiment écrit
$$(f \text{ non injective} \nRightarrow (\forall g\in \mathcal{F}(E), \forall h\in \mathcal{F}(E), f\circ g=f\circ h \Rightarrow g=h)$$
avec le symbole $\nRightarrow$ ?
Re: Non implication et contraposée
il y a quatre années
avatar
Oui, c'est ce qui est écrit :



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre années et a été effectuée par AD.


Re: Non implication et contraposée
il y a quatre années
Tu n'as pas recopié fidèlement, tu as ajouté des quantificateurs qui ne sont pas dans le texte original.
Il n'empêche, tu es en droit de demander le remboursement du prix payé pour ce cours du CNED, qui contient une atrocité sans nom. La "contraposition" est complètement fausse.
La version correcte : la construction faite montre que
$$f \text{ non injective} \Rightarrow \exists g\in \mathcal{F}(E)\ \exists h\in \mathcal{F}(E)\ (f\circ g=f\circ h \text{ et } g\neq h)$$
qui est bien la contraposée de
$$(\forall g\in \mathcal{F}(E)\ \forall h\in \mathcal{F}(E)\ (f\circ g=f\circ h \Rightarrow g=h)) \Rightarrow f \text{ est injective} $$
ev
Re: Non implication et contraposée
il y a quatre années
avatar
Il fallait lire à la place de : $(f \text{ non injective} \nRightarrow (\forall g\in \mathcal{F}(E), \forall h\in \mathcal{F}(E), f\circ g=f\circ h \Rightarrow g=h)$

ce qui a été effectivement démontré plus haut, à savoir $(f \text{ non injective} ) \Rightarrow \text{ non } (\forall g\in \mathcal{F}(E), \forall h\in \mathcal{F}(E), f\circ g=f\circ h \Rightarrow g=h)$.

Il faut éviter autant que possible les symboles d'implication dans une rédaction en mathématiques. Le symbole $ \nRightarrow$ - je viens de découvrir la commande $\LaTeX$ - est à proscrire absolument. Ta démonstration est éclatante dans ce sens.

e.v.
Re: Non implication et contraposée
il y a quatre années
avatar
GaBuZoMeu écrivait:
> La version correcte : la construction faite montre que $$f \text{ non injective} \Rightarrow \exists g\in \mathcal{F}(E)\ \exists h\in \mathcal{F}(E)\ (f\circ g=f\circ h \text{ et } g\neq h)$$
> qui est bien la contraposée de $$(\forall g\in \mathcal{F}(E)\ \forall h\in \mathcal{F}(E)\ (f\circ g=f\circ h \Rightarrow g=h)) \Rightarrow f \text{ est injective} $$

**************************
Dans la première proposition, tu as mis un "et". Comment passer du "et" à l'implication sachant que l'un et symétrique et l'autre non ? Je veux dire : comment passer de (A et B) à (A => B) sachant que l'on aurait pu écrire (B et A) mais pas (B=>A)...
Re: Non implication et contraposée
il y a quatre années
La négation de $A\Rightarrow B$ est $A$ et $nonB$

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Non implication et contraposée
il y a quatre années
avatar
christophe c écrivait:
> La négation de $A\Rightarrow B$ est $A$ et $nonB$
********************

Euh... on peut avoir deux cas : (A et nonB) ou (A et B), non ?

Dire que (A n'implique pas B) ne veut pas dire qu'il y a toujours (A et nonB).
Exemple : $A = (x^2>0)$ et $B=(x>0)$. On n'a pas $A\Rightarrow B$ mais pas toujours $(A~et~nonB)$ non plus...
Re: Non implication et contraposée
il y a quatre années
Tu oublies allègrement les quantifications, ce qui fait que tu te mélanges allègrement les pinceaux. Bon, mais tu n'es pas le seul à raconter des bétises : le rédacteur du manuel du CNED aussi !

La négation de $A \Rightarrow B$ est $A \text{ et } (\text{non } B)$.
La négation de "s'il y a la lettre E d'un côté de cette carte, alors il y a le chiffre 5 de l'autre côté", c'est " il y a la lettre E d'un côté de cette carte et il n'y a pas le chiffre 5 de l'autre côté".

La négation de $\forall x\ (A(x)\Rightarrow B(x))$ est $\exists x\ (A(x) \text{ et } (\text{non } B(x)))$.
La négation de $\forall x\ (x^2>0\Rightarrow x>0)$ est $\exists x\ (x^2>0 \text{ et } x\leq 0)$.
Re: Non implication et contraposée
il y a quatre années
@yayaj

D'accord avec GBMZ, demande le remboursement.

Pour que tu en aies pour ton argent, je te tape une preuve correcte:

Supposons que pour toutes $g,h: E\to E:$ si $f\circ g=f\circ h$ alors $g=h$.
Soient $a,b$ dans $E$ tels que $c:=f(a)=f(b)$. Soit $g:x\mapsto a$ et $h:x\mapsto b$. Alors $f\circ g=f\circ h=(x\mapsto c)$. Donc $g=h$. Donc** $a=b$.

On vient de prouver que $(\forall (h,g)\in F(E)^2 : [f\circ g=f\circ h\Rightarrow g=h]) \Rightarrow (\forall (a,b)\in E^2: [f(a)=f(b)\Rightarrow a=b])$

C'était ce que tu voulais.

** remarque: le dernier "donc" est un poil vicieux, mais ce n'est pas ta préoccupation, il résulte de la non vacuité de $E$ qui elle-même résulte du fait que $a\in E$.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a quatre années et a été effectuée par christophe c.
Re: Non implication et contraposée
il y a quatre années
avatar
Merci beaucoup pour votre aide !

Je vais contacter le CNED dès que possible et vous tiendrai au courant !

Yayaj
Re: Non implication et contraposée
il y a quatre années
Juste une question: tu paies combien, et quelle définitivité te lie à eux? M'est avis que les gens qui taffent au CNED n'y prennent pas forcément plaisir et ne sont pas forcément "experts" des trucs qu'ils écrivent. A voir..

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Dom
Re: Non implication et contraposée
il y a quatre années
En maths, je ne sais pas, mais dans une autre discipline je peux assurer que la personne que je connais a bien fait le boulot, aimait cela pendant la période où elle y bossait et était experte dans sa discipline.
En fait, comme partout, on doit trouver de tout ...



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a quatre années et a été effectuée par Dom.
Re: Non implication et contraposée
il y a quatre années
avatar
Pour moi, c'est une remise à niveau.
On peut s'incrire toute l'année à 4 modules (2 par niveau) et on a 10 mois pour les faire. On peut demander une attestion comme quoi on a fait cette formation mais il n'y a pas de diplôme à la fin. Cela recouvre les niveaux Bac+1/+2.

J'ai joint la fiche qu'ils m'ont envoyée.
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - 1MMATDIX15-N.pdf (275.6 KB)
Seuls les utilisateurs enregistrés peuvent poster des messages dans ce forum.

Cliquer ici pour vous connecter

Liste des forums - Statistiques du forum

Total
Discussions: 136 655, Messages: 1 321 396, Utilisateurs: 24 147.
Notre dernier utilisateur inscrit Topos.


Ce forum
Discussions: 17 181, Messages: 166 661.

 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page