Non implication et contraposée
Bonjour !
Je suis actuellement des cours du CNED (niveau L1/L2) et je ne comprends la correction d'un exercice...
Enoncé : Soit f une application de E dans E.
Démontrer que : $(\forall g\in \mathcal{F}(E), \forall h\in \mathcal{F}(E), f\circ g=f\circ h \Rightarrow g=h) \Leftrightarrow (f~injective)$
Correction :
1. Si f est injective : pas de soucis pour cette partie
On a (à la fin) $(f~injective) \Rightarrow (\forall g\in \mathcal{F}(E), \forall h\in \mathcal{F}(E), f\circ g=f\circ h \Rightarrow g=h)$
2. Si f n'est pas injective : le problème vient maintenant
[...]On a établi$(f~non~injective) \nRightarrow (\forall g\in \mathcal{F}(E), \forall h\in \mathcal{F}(E), f\circ g=f\circ h \Rightarrow g=h)$
donc la contraposée $(\forall g\in \mathcal{F}(E), \forall h\in \mathcal{F}(E), f\circ g=f\circ h \Rightarrow g=h) \Rightarrow (f~injective)$
Je ne comprends cette contraposée (avec n'implique pas). Je connais $A \Rightarrow B$ et $non~B \Rightarrow non~A$ mais pas celle-là...
Quelqu'un pourrait-il m'aider, svp ? explications, exemples, ...
Merci !
Yayaj
Je suis actuellement des cours du CNED (niveau L1/L2) et je ne comprends la correction d'un exercice...
Enoncé : Soit f une application de E dans E.
Démontrer que : $(\forall g\in \mathcal{F}(E), \forall h\in \mathcal{F}(E), f\circ g=f\circ h \Rightarrow g=h) \Leftrightarrow (f~injective)$
Correction :
1. Si f est injective : pas de soucis pour cette partie
On a (à la fin) $(f~injective) \Rightarrow (\forall g\in \mathcal{F}(E), \forall h\in \mathcal{F}(E), f\circ g=f\circ h \Rightarrow g=h)$
2. Si f n'est pas injective : le problème vient maintenant
[...]On a établi$(f~non~injective) \nRightarrow (\forall g\in \mathcal{F}(E), \forall h\in \mathcal{F}(E), f\circ g=f\circ h \Rightarrow g=h)$
donc la contraposée $(\forall g\in \mathcal{F}(E), \forall h\in \mathcal{F}(E), f\circ g=f\circ h \Rightarrow g=h) \Rightarrow (f~injective)$
Je ne comprends cette contraposée (avec n'implique pas). Je connais $A \Rightarrow B$ et $non~B \Rightarrow non~A$ mais pas celle-là...
Quelqu'un pourrait-il m'aider, svp ? explications, exemples, ...
Merci !
Yayaj
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Réponses
$$(f \text{ non injective} \nRightarrow (\forall g\in \mathcal{F}(E), \forall h\in \mathcal{F}(E), f\circ g=f\circ h \Rightarrow g=h)$$
avec le symbole $\nRightarrow$ ?
Il n'empêche, tu es en droit de demander le remboursement du prix payé pour ce cours du CNED, qui contient une atrocité sans nom. La "contraposition" est complètement fausse.
La version correcte : la construction faite montre que
$$f \text{ non injective} \Rightarrow \exists g\in \mathcal{F}(E)\ \exists h\in \mathcal{F}(E)\ (f\circ g=f\circ h \text{ et } g\neq h)$$
qui est bien la contraposée de
$$(\forall g\in \mathcal{F}(E)\ \forall h\in \mathcal{F}(E)\ (f\circ g=f\circ h \Rightarrow g=h)) \Rightarrow f \text{ est injective} $$
ce qui a été effectivement démontré plus haut, à savoir $(f \text{ non injective} ) \Rightarrow \text{ non } (\forall g\in \mathcal{F}(E), \forall h\in \mathcal{F}(E), f\circ g=f\circ h \Rightarrow g=h)$.
Il faut éviter autant que possible les symboles d'implication dans une rédaction en mathématiques. Le symbole $ \nRightarrow$ - je viens de découvrir la commande $\LaTeX$ - est à proscrire absolument. Ta démonstration est éclatante dans ce sens.
e.v.
> La version correcte : la construction faite montre que $$f \text{ non injective} \Rightarrow \exists g\in \mathcal{F}(E)\ \exists h\in \mathcal{F}(E)\ (f\circ g=f\circ h \text{ et } g\neq h)$$
> qui est bien la contraposée de $$(\forall g\in \mathcal{F}(E)\ \forall h\in \mathcal{F}(E)\ (f\circ g=f\circ h \Rightarrow g=h)) \Rightarrow f \text{ est injective} $$
**************************
Dans la première proposition, tu as mis un "et". Comment passer du "et" à l'implication sachant que l'un et symétrique et l'autre non ? Je veux dire : comment passer de (A et à (A => sachant que l'on aurait pu écrire (B et A) mais pas (B=>A)...
> La négation de $A\Rightarrow B$ est $A$ et $nonB$
********************
Euh... on peut avoir deux cas : (A et nonB) ou (A et , non ?
Dire que (A n'implique pas ne veut pas dire qu'il y a toujours (A et nonB).
Exemple : $A = (x^2>0)$ et $B=(x>0)$. On n'a pas $A\Rightarrow B$ mais pas toujours $(A~et~nonB)$ non plus...
La négation de $A \Rightarrow B$ est $A \text{ et } (\text{non } $.
La négation de "s'il y a la lettre E d'un côté de cette carte, alors il y a le chiffre 5 de l'autre côté", c'est " il y a la lettre E d'un côté de cette carte et il n'y a pas le chiffre 5 de l'autre côté".
La négation de $\forall x\ (A(x)\Rightarrow B(x))$ est $\exists x\ (A(x) \text{ et } (\text{non } B(x)))$.
La négation de $\forall x\ (x^2>0\Rightarrow x>0)$ est $\exists x\ (x^2>0 \text{ et } x\leq 0)$.
D'accord avec GBMZ, demande le remboursement.
Pour que tu en aies pour ton argent, je te tape une preuve correcte:
Supposons que pour toutes $g,h: E\to E:$ si $f\circ g=f\circ h$ alors $g=h$.
Soient $a,b$ dans $E$ tels que $c:=f(a)=f(b)$. Soit $g:x\mapsto a$ et $h:x\mapsto b$. Alors $f\circ g=f\circ h=(x\mapsto c)$. Donc $g=h$. Donc** $a=b$.
On vient de prouver que $(\forall (h,g)\in F(E)^2 : [f\circ g=f\circ h\Rightarrow g=h]) \Rightarrow (\forall (a,b)\in E^2: [f(a)=f(b)\Rightarrow a=b])$
C'était ce que tu voulais.
** remarque: le dernier "donc" est un poil vicieux, mais ce n'est pas ta préoccupation, il résulte de la non vacuité de $E$ qui elle-même résulte du fait que $a\in E$.
Je vais contacter le CNED dès que possible et vous tiendrai au courant !
Yayaj
En fait, comme partout, on doit trouver de tout ...
On peut s'incrire toute l'année à 4 modules (2 par niveau) et on a 10 mois pour les faire. On peut demander une attestion comme quoi on a fait cette formation mais il n'y a pas de diplôme à la fin. Cela recouvre les niveaux Bac+1/+2.
J'ai joint la fiche qu'ils m'ont envoyée.