Non implication et contraposée

Yayaj
Yayaj
dans Algèbre
Bonjour !

Je suis actuellement des cours du CNED (niveau L1/L2) et je ne comprends la correction d'un exercice...

Enoncé : Soit f une application de E dans E.
Démontrer que : $(\forall g\in \mathcal{F}(E), \forall h\in \mathcal{F}(E), f\circ g=f\circ h \Rightarrow g=h) \Leftrightarrow (f~injective)$

Correction :
1. Si f est injective : pas de soucis pour cette partie
On a (à la fin) $(f~injective) \Rightarrow (\forall g\in \mathcal{F}(E), \forall h\in \mathcal{F}(E), f\circ g=f\circ h \Rightarrow g=h)$


2. Si f n'est pas injective : le problème vient maintenant

[...]On a établi$(f~non~injective) \nRightarrow (\forall g\in \mathcal{F}(E), \forall h\in \mathcal{F}(E), f\circ g=f\circ h \Rightarrow g=h)$

donc la contraposée $(\forall g\in \mathcal{F}(E), \forall h\in \mathcal{F}(E), f\circ g=f\circ h \Rightarrow g=h) \Rightarrow (f~injective)$


Je ne comprends cette contraposée (avec n'implique pas). Je connais $A \Rightarrow B$ et $non~B \Rightarrow non~A$ mais pas celle-là...

Quelqu'un pourrait-il m'aider, svp ? explications, exemples, ...

Merci !

Yayaj

Réponses

  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    As-tu recopié fidèlement ? Est-il vraiment écrit
    $$(f \text{ non injective} \nRightarrow (\forall g\in \mathcal{F}(E), \forall h\in \mathcal{F}(E), f\circ g=f\circ h \Rightarrow g=h)$$
    avec le symbole $\nRightarrow$ ?
  • Yayaj
    Yayaj
    Oui, c'est ce qui est écrit :44669
    44671
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Tu n'as pas recopié fidèlement, tu as ajouté des quantificateurs qui ne sont pas dans le texte original.
    Il n'empêche, tu es en droit de demander le remboursement du prix payé pour ce cours du CNED, qui contient une atrocité sans nom. La "contraposition" est complètement fausse.
    La version correcte : la construction faite montre que
    $$f \text{ non injective} \Rightarrow \exists g\in \mathcal{F}(E)\ \exists h\in \mathcal{F}(E)\ (f\circ g=f\circ h \text{ et } g\neq h)$$
    qui est bien la contraposée de
    $$(\forall g\in \mathcal{F}(E)\ \forall h\in \mathcal{F}(E)\ (f\circ g=f\circ h \Rightarrow g=h)) \Rightarrow f \text{ est injective} $$
  • ev
    ev
    Il fallait lire à la place de : $(f \text{ non injective} \nRightarrow (\forall g\in \mathcal{F}(E), \forall h\in \mathcal{F}(E), f\circ g=f\circ h \Rightarrow g=h)$

    ce qui a été effectivement démontré plus haut, à savoir $(f \text{ non injective} ) \Rightarrow \text{ non } (\forall g\in \mathcal{F}(E), \forall h\in \mathcal{F}(E), f\circ g=f\circ h \Rightarrow g=h)$.

    Il faut éviter autant que possible les symboles d'implication dans une rédaction en mathématiques. Le symbole $ \nRightarrow$ - je viens de découvrir la commande $\LaTeX$ - est à proscrire absolument. Ta démonstration est éclatante dans ce sens.

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • Yayaj
    Yayaj
    GaBuZoMeu écrivait:
    > La version correcte : la construction faite montre que $$f \text{ non injective} \Rightarrow \exists g\in \mathcal{F}(E)\ \exists h\in \mathcal{F}(E)\ (f\circ g=f\circ h \text{ et } g\neq h)$$
    > qui est bien la contraposée de $$(\forall g\in \mathcal{F}(E)\ \forall h\in \mathcal{F}(E)\ (f\circ g=f\circ h \Rightarrow g=h)) \Rightarrow f \text{ est injective} $$

    **************************
    Dans la première proposition, tu as mis un "et". Comment passer du "et" à l'implication sachant que l'un et symétrique et l'autre non ? Je veux dire : comment passer de (A et B) à (A => B) sachant que l'on aurait pu écrire (B et A) mais pas (B=>A)...
  • christophe c
    christophe c
    La négation de $A\Rightarrow B$ est $A$ et $nonB$
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Yayaj
    Yayaj
    christophe c écrivait:
    > La négation de $A\Rightarrow B$ est $A$ et $nonB$
    ********************

    Euh... on peut avoir deux cas : (A et nonB) ou (A et B), non ?

    Dire que (A n'implique pas B) ne veut pas dire qu'il y a toujours (A et nonB).
    Exemple : $A = (x^2>0)$ et $B=(x>0)$. On n'a pas $A\Rightarrow B$ mais pas toujours $(A~et~nonB)$ non plus...
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Tu oublies allègrement les quantifications, ce qui fait que tu te mélanges allègrement les pinceaux. Bon, mais tu n'es pas le seul à raconter des bétises : le rédacteur du manuel du CNED aussi !

    La négation de $A \Rightarrow B$ est $A \text{ et } (\text{non } B)$.
    La négation de "s'il y a la lettre E d'un côté de cette carte, alors il y a le chiffre 5 de l'autre côté", c'est " il y a la lettre E d'un côté de cette carte et il n'y a pas le chiffre 5 de l'autre côté".

    La négation de $\forall x\ (A(x)\Rightarrow B(x))$ est $\exists x\ (A(x) \text{ et } (\text{non } B(x)))$.
    La négation de $\forall x\ (x^2>0\Rightarrow x>0)$ est $\exists x\ (x^2>0 \text{ et } x\leq 0)$.
  • christophe c
    christophe c
    @yayaj

    D'accord avec GBMZ, demande le remboursement.

    Pour que tu en aies pour ton argent, je te tape une preuve correcte:

    Supposons que pour toutes $g,h: E\to E:$ si $f\circ g=f\circ h$ alors $g=h$.
    Soient $a,b$ dans $E$ tels que $c:=f(a)=f(b)$. Soit $g:x\mapsto a$ et $h:x\mapsto b$. Alors $f\circ g=f\circ h=(x\mapsto c)$. Donc $g=h$. Donc** $a=b$.

    On vient de prouver que $(\forall (h,g)\in F(E)^2 : [f\circ g=f\circ h\Rightarrow g=h]) \Rightarrow (\forall (a,b)\in E^2: [f(a)=f(b)\Rightarrow a=b])$

    C'était ce que tu voulais.

    ** remarque: le dernier "donc" est un poil vicieux, mais ce n'est pas ta préoccupation, il résulte de la non vacuité de $E$ qui elle-même résulte du fait que $a\in E$.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Yayaj
    Yayaj
    Merci beaucoup pour votre aide !

    Je vais contacter le CNED dès que possible et vous tiendrai au courant !

    Yayaj
  • christophe c
    christophe c
    Juste une question: tu paies combien, et quelle définitivité te lie à eux? M'est avis que les gens qui taffent au CNED n'y prennent pas forcément plaisir et ne sont pas forcément "experts" des trucs qu'ils écrivent. A voir..
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Dom
    Dom
    En maths, je ne sais pas, mais dans une autre discipline je peux assurer que la personne que je connais a bien fait le boulot, aimait cela pendant la période où elle y bossait et était experte dans sa discipline.
    En fait, comme partout, on doit trouver de tout ...
  • Yayaj
    Yayaj
    Pour moi, c'est une remise à niveau.
    On peut s'incrire toute l'année à 4 modules (2 par niveau) et on a 10 mois pour les faire. On peut demander une attestion comme quoi on a fait cette formation mais il n'y a pas de diplôme à la fin. Cela recouvre les niveaux Bac+1/+2.

    J'ai joint la fiche qu'ils m'ont envoyée.
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