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Je recherche un exercice

Envoyé par Jacky9393 
Je recherche un exercice
il y a quatre années
Bonjour,

Je cherche un exercice que j'avais croisé en taupe et dont je ne me souviens plus de l'énoncé ... il est question d'un endomorphisme $f$ en dimension finie et la conclusion de l'exercice est de montrer que $\langle f^* \circ f (x),x \rangle = \langle f \circ f^* (x),x \rangle $ pour tout $x \in E$. (On peut même en déduire après que $f$ est un endomorphisme normal. Je me souviens que dans l'exercice on utilise la méthode de dédoublement des termes [technique qui applique en $x+y$ une propriété a deux variables pour en obtenir quelque chose de plus général à deux variables ] et où l'on utilise une base orthonormale de diagonalisation de $f+f^*$ ce qui est assez inhabituel ...
En d'autre terme je cherche les hypothèses à mettre sur $f$ pour que l'on puisse obtenir la conclusion souhaitée, en utilisant les raisonnements que j'ai cité.

En prenant une base orthonormée de diagonalisation $(e_i)_{0\le i \le n}$ pour $f+f^*$ j'obtiens $\|f(e_i)\| = \|f^*(e_i)\|$. Je ne sais pas quelle hypothèse rajouter pour passer à $\|f(x)\| = \|f^*(x)\|$ pour tout $x \in E$ ? [Sachant qu'en fait je n'ai fais aucune hypothèse]

Après avoir griffonné quelque chose j'en suis arrivé au point que : si $\langle e_i,f(e_j) \rangle = 0 \quad \quad (1)$ pour $i\neq j$ alors $f$ est un endomorphisme normal. Finalement quelle propriété faut-il imposer à $f$ pour que $(1)$ soit vérifiée ?
Je suis conscient que ce n'est pas très clair, mais j'ai cherché sur le net et je n'ai strictement rien trouvé qui ressemble !

Merci d'avance !



Edité 7 fois. La dernière correction date de il y a quatre années et a été effectuée par Jacky9393.
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